SHIMURAVARIETÄTEN UND GERBEN^{∗}

Von R. P. Langlands in Princeton und M. Rapoport in Bonn

§1. EINLEITUNG

Das Problem der Fortsetzbarkeit der Hasse-Weil-Zeta-Funktionen und allgemeiner der motivischen L-Funktionen ist nach wie vor ein zentrales Problem der Zahlentheorie. Es wird oft in zwei Probleme aufgeteilt, die getrennt zu lösen sind. Es ist erstens zu zeigen, daß jede motivische L-Funktion gleich einer automorphen L-Funktion ist, und zweitens, daß jede automorphe L-Funktion fortsetzbar ist. Beide Probleme sind in herzlich wenigen Fällen gelöst und dann nur dank der Bemühungen vieler Mathematiker über lange Zeit.

Nach den abelschen Varietäten sind in arithmetischer Hinsicht die Shimuravarietäten wohl die zugänglichsten, und diese Arbeit soll ein Beitrag zum ersten Problem für die ihnen zugeordneten motivischen L-Funktionen sein. Die Shimuravarietäten gehen aus der Theorie der automorphen Funktionen hervor und werden durch eine reduktive Gruppe G mit zusätzlicher Struktur definiert. Erfahrungsgemäß besteht die Lösung des Problems in einem gegebenen Fall aus zwei Bestandteilen, einer gruppentheoretischen Beschreibung der Punkte der reduzierten Varietät, und kombinatorischen Argumenten, die das fundamentale Lemma von [L3] einschleißen, um den erhaltenen Ausdruck in eine Form zu bringen, die mit der Arthur-Selberg’schen Spurformel verglichen werden kann. Wir beschäftigen uns hier nur mit dem ersten Problemkreis und verweisen für die Umformung auf zukünftige Arbeiten von R. Kottwitz.

Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, eine Vermutung über die Reduktion modulo p von Shimuravarietäten zu formulieren, sie plausibel zu machen, indem wir sie mit den Standardvermutungen von Grothendieck in Beziehung setzen, und die Tatsachen zu beweisen, die auf eine rein gruppentheoretische Formel für die Anzahl der Punkte der Reduktion modulo p führen. Über die Primzahl p müssen wir einige einschränkende Voraussetzungen machen die aber über den Fall guter Reduktion hinaus gewisse Fälle schlechter Reduktion zulassen. Es sei S = Sh(G, h)_{K}(K = K^{p}K_{p} ⊂ G(A_{f})) eine Shimuravarietät, definiert über dem Reflexkörper

∗ Appeared in Jour. für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 378 (1987).

E = E(G, h), und 𝔭 eine Primstelle von E über p, die gut ist. Es sei κ der Restklassenkörper von E_{𝔭} und κ_{m} die Erweiterung von Grad m. Die Formel hat folgende Gestalt. Die Anzahl |S(κ_{m})| ist gleich

(1.1)  ∑_{(ε)_{st}} ι(ε) · vol(G_{ε}(Q)Z_{K}/G_{ε}(A_{f})) · ∑_{{(γ),(δ) \atop κ(ε;γ,δ)=1}} O_{γ}(f^{p})T O_{δ}(ϕ_{p}).

Hier ist Z_{K} gleich Z(A_{f}) ∩ K; die äußere Summe läuft über die stabilen Konjugationsklassen von Z(Q) ∩ Z_{K}\G(Q). Die Zahl ι(ε) ist eine kohomologische Invariante,

ι(ε) = |Ker : H^{1}(Q, G_{ε}) → H^{1}(A, G_{ε}) × H^{1}(Q, G_{ab})|.

Die innere Summe läuft über Konjugationsklassen von Elementen γ ∈ G(A_{f}^{p}) und getwistete Konjugationsklassen von Elementen δ ∈ G(L). Hier ist L die unverzweigte Erweiterung von Q_{p} mit Restklassenkörper κ_{m}. Die Symbole O_{γ} bzw. T O_{δ} bedeuten Bahnenintegrale bzw. getwistete Bahnenintegrale, und die Funktion auf G(A_{f}^{p}) ist

f^{p} = \frac{1}{vol(K^{p})} · char K^{p},

während ϕ_{p} ein durch die Shimuravarietät definiertes Element der Heckealgebra von G(L) bezüglich K_{p} ist. Von den Paaren γ, δ wird verlangt, daß γ stabil konjugiert zu ε ist, daß die Norm von δ stabil konjugiert zu ε ist und, die interessanteste Bedingung, daß die Kottwitz-Invariante κ(ε; γ, δ) definiert und gleich 1 ist. Obgleich diese Formel in unserer Arbeit nicht auftritt, sondern einer zukünftigen Arbeit von Kottwitz vorbehalten ist, ist sie unschwer aus unseren Ergebnissen abzuleiten. Dies ist eine Folgerung der Ergebnisse von Kottwitz [K3].

Im Fall, daß die Shimuravarietät S_{K} kompakt ist, treten die Zahlen (1.1) in der Potenzreihenentwicklung des Logarithmus der Hasse-Weil-Zeta-Funktion von S_{K} in der guten Primstelle p auf. Um die rechte Seite von (1.1) mit der entsprechenden Potenzreihenentwicklung von automorphen L-Funktionen, die zu automorphen Darstellungen von G gehören, zu vergleichen, müßte man zunächst das getwistete Bahnenintegral von ϕ_{p} in ein gewöhnliches Bahnenintegral einer Funktion f_{p} auf G(Q_{p}) umschreiben. Falls des fundamentale Lemma im allgemeinen zur Verfügung stünde, könnte dies nach Stabilisierung erreicht werden, und mit dem Satz von Kottwitz [K3] würde überdies die Funktion f_{p} explizit hingeschrieben werden können. Es ist das Auftreten der Bedingung über die Kottwitz-Invariante, die dieses einfache Vorgehen vereitelt. Man kann diese Bedingung als den Grund für das Einführen der endoskopischen Gruppen in diesem Zusammenhang ansehen. Der Ausweg aus diesem Dilemma ist es, die Hasse-Weil-Zeta-Funktion nicht mit einer zu G gehörigen automorphen L-Funktion zu vergleichen, sondern mit einem Produkt von automorphen L-Funktionen, die zu automorphen Darstellungen von endoskopischen Gruppen von G assoziiert sind, etwa einem Produkt von der folgenden Form

(1.2)  ∏_{H} ∏_{Π} L(s, Π, r_{H})^{m(H)}.

Dabei ist Π ein L-Paket, r_{H} eine virtuelle Darstellung der L-Gruppe ^{L}H und der Exponent möglicherweise eine rationale Zahl. Man kann erwarten, daß die Potenzreihenentwicklung des Logarithmus von (1.2) als Summe von stabilisierten Spuren in einem gewissen Sinne geschrieben werden kann:

(1.3)  ∑_{H} ST (f_{H}).

Die Funktionen f_{H} werden von der Form von (1.2) diktiert. Die weitere Strategie besteht jetzt darin, die einzelnen Terme von (1.3) mit den stabilisierten Spurformeln für die verschiedenen H auszudrücken und andererseits die Stabilisierung der rechten Seite von (1.1) durchzuführen, die auch auf eine Summe von stabilisierten Spurformeln für die endoskopischen Gruppen für passende Funktionen f′_{H} führt. Schließlich wären die Funktionen f_{H} und f′_{H} zu vergleichen. Obgleich dieses Programm im Augenblick noch Zukunftsmusik ist, ist es Kottwitz gelungen, den elliptischen Teil der Summe auf der rechten Seite von (1.1) in der passenden Form zu schreiben.

Wir bemerken nebenbei, daß aus der Darstellung der Hasse-Weil-Zeta-Funktion in der Form (1.2) leicht folgt, daß die Eigenwerte des Frobeniuselements Wurzeln von Polynomen sind, deren Koeffizienten aus den Eigenwerten von Heckeoperatoren gebildet werden. Diese Aussage ist auch eine Folge von Kongruenzrelationen, die in vielen Fällen relativ einfach zu beweisen sind. Während aber im Fall der Gruppe GL(2) die Darstellung der Hasse-Weil-Zeta-Funktion als Produkt von automorphen L-Funktionen eine Folge der Kongruenzrelationen ist, ist dies für andere Gruppen kaum zu erwarten.

Für die Berechnung der Zetafunktion reicht es, statt unserer Vermutung die Formel (1.1) zur Verfügung zu haben, und der Versuch eines Beweises dieser Formel im Falle der Gruppe G der symplektischen Ähnlichkeiten führt auf eine verhältnismäßig elementare aber subtile Frage über prinzipal polarisierte abelsche Varietäten, die wir an dieser Stelle explizit formulieren wollen. Es sei (A, Λ) eine abelsche Varietät vom CM-Typ über C mit einer Q-Klasse von Polarisierungen. Dann ist (A, Λ) bereits über einer endlichen Erweiterung von Q definiert und hat in einer gewählten Stelle 𝔭 über p gute Reduktion (Ā, Λ̄) über dem endlichen Körper F_{q}, q = p^{n}. Der Frobeniusendomorphismus von (Ā, Λ̄) über F_{q} ist in einen Endomorphismus von (A, Λ) geliftet, der durch seine Aktion auf der rationalen Kohomologie ein Element ε ∈ G(Q) definiert. Andererseits definiert die l-adische Kohomologie H^{1}(Ā ⊗_{F_{q}} F̄_{q}, Q_{l}) für alle l ≠ p eine Konjugationsklasse γ ∈ G(A_{f}^{p}) und die kristalline Kohomologie (d.h. die Theorie der Dieudonnémoduln) eine getwistete Konjugationsklasse δ ∈ G(L). Die Vermutung von Kottwitz ist, daß die Invariante κ(ε; γ, δ) gleich 1 ist.

Der Schwerpunkt der vorliegenden Arbeit liegt jedoch nicht in dem Beweis unserer Vermutung oder ihrer Abschwächung, sondern in ihrer Formulierung. Die Vermutung beschreibt die Punkte der Reduktion modulo p als disjunkte Vereinigung von Doppelnebenklassen, die von Konjugationsklassen von zulässigen Homomorphismen von Gerben in die zu G assoziierte neutrale Gerbe parametrisiert werden,

ϕ : 𝒫⟶𝒢_{G}.

Hier ist 𝒫 eine explizit konstruierte Gerbe. Um diese Konstruktion durchführen zu können, haben wir es vorgezogen, den Begriff einer Gerbe möglichst einfach aufzufassen, als eine Erweiterung einer Galoisgruppe durch eine algebraische Gruppe (den “Kern” der Gerbe), da wir uns außerstande fühlten, mit dem abstrakten Begriff umzugehen. Die Konstruktion von 𝒫 ist ein Hauptanliegen unserer Arbeit, wie auch die Konstruktion des Homomorphismus

ψ_{T,μ} : 𝒫 ⟶ 𝒢_{T} ,

der zu einem über Q definierten algebraischen Torus T und einem Kocharakter μ von T assoziiert ist. Falls (T, h_{T}) ⊂ (G, h) einen “speziellen Punkt” der Shimuravarietät definiert, so erhalten wir aus ψ_{T,μ}, mit μ = μ_{h_{T}}, durch Komposition mit der Inklusion 𝒢_{T} ⊂ 𝒢_{G} einen Homomorphismus ψ_{T,μ} : 𝒫 ⟶ 𝒢_{G}, der sich als zulässig erweist. Im Falle der guten Reduktion ist jeder zulässige Homomorphismus konjugiert zu einem Homomorphismus von dieser Form für ein passendes (T, h_{T}). Da im Kern von 𝒫 ein Element δ existiert (genauer: eine Folge von Elementen δ_{n}, die Potenzen voneinander sind), dessen Bild in T unter ψ_{T,μ} rational ist, erhalten wir aus ψ_{T,μ} ein Element γ ∈ G(Q). Man kann leicht zeigen, daß (γ, h_{T}) ein Frobeniuspaar im Sinne von [L1] ist und daß die Zuordnung ϕ ⟶ (γ, h) eine Bijektion zwischen den lokalen Äquivalenzklassen von zulässigen Homomorphismen ϕ und den Äquivalenzklassen von Frobeniuspaaren liefert. Hier heißen zwei Homomorphismen von Gerben über Q lokal äquivalent, falls ihre Lokalisierungen in jeder Stelle konjugiert sind. Man sieht auf diese Weise ein, daß die hier formulierte Vermutung die von dem ersten von uns in [L1] geäußerte Vermutung zur Folge hat; aber die neue Vermutung ist präziser, insofern als die in [L1] definierte Einbettung der dort definierten Gruppe I(A_{f}^{p}) in G(A_{f}^{p}) dort nicht hinreichend genau definiert ist, um die Formel (1.1) aus ihr abzuleiten.

Die neue Vermutung hat aber auch einen anderen Vorteil gegenüber der alten, der sogar historisch gesehen ihr Ursprung ist. Der alte Vermutung versagt nämlich bereits in den enfachsten Fällen schlechter Reduktion. Dies spiegelt sich einerseits darin wider, daß dann nicht jeder zulässige Homomorphismus von der Form ψ_{T,μ} ist, und andererseits darin, daß der Liftungssatz von Zink [Z1] in diesen Fällen nicht mehr gültig ist. In der vorliegenden Arbeit haben wir den Fall schlechter Reduktion weitgehend vernachlässigt. Der zweite Autor beabsichtigt, in einer noch zu schreibenden Arbeit einige Fälle schlechter Reduktion eingehender zu behandeln, und so die Vermutung aus einer zweiten Perspektive zu beleuchten.

Die Natur der neuen Vermutung hat ihren philosophischen Hintergrund in der Grothendieck’schen Theorie der Motive. Die Existenz der Kategorie der Motive über einem endlichen Körper kann bisher nur unter Benutzung der noch nicht bewiesenen Standardvermutungen nachgewiesen werden. Andererseits ordnet die von Grothendieck entworfene Theorie der Tannakakategorien, die von Saavedra Rivano in [Sa] und Deligne und Milne in [DM] entwickelt wurde, einer abelschen Kategorie mit Zusatzstrukturen, inbesondere einem Tensorprodukt, eine Gerbe zu (wir haben das französische Wort beibehalten, denn die am nächsten liegenden Übersetzungen scheinen schon besetzt zu sein). Die Gerbe 𝒫 ist diejenige Gerbe, die zur Kategorie der Motive über endlichen Körpern, falls sie existierte, gehört.

Wir erklären jetzt die Organisation des Artikels. Im §2 definieren wir eine Gerbe 𝒯_{ν_{1},ν_{2}} mit Zusatzstrukturen über einem globalen Körper, die zu einem Torus T und zwei Kocharakteren ν_{1}, ν_{2} gehört. Falls diese Kocharaktere durch “Mittelung” aus einem einzigen Kocharakter μ entstehen, so konstruieren wir eine explizite Neutralisierung 𝒯_{ν_{1},ν_{2}} ≅ 𝒢_{T}. Die Hauptresultate dieses Abschnitts sind die Sätze 2.1 und 2.2. Die Konstruktion benutzt die Klassenkörpertheorie und die Theorie von Tate-Nakayama und verläuft ähnlich wie die Konstruktion der Taniyamagruppe. Es scheint uns ein nützliches Unterfangen, die Konstruktion durch eine Universaleigenschaft zu charakterisieren. Dies würde unsere unständlichen Kozykel-Verifikationen ersetzen und vielleicht mehr Einsicht in die hier herrschenden Verhältnisse liefern. Im §3 wenden wir diese Konstruktionen auf den Torus T an, dessen Charaktergruppe von der Menge der Weil-q-Zahlen erzeugt ist. Wir zeigen, daß dieser Torus so einfache Kohomologie hat, daß die so konstruierte Gerbe 𝒫, wie auch die zu (T, μ) assoziierten Homomorphismen ψ_{T,μ} : 𝒫 ⟶ 𝒢_{T} eindeutig charakterisiert werden können. Die Abschnitte 2 und 3 liefern die Basis für die Formulierung unserer Vermutung. Die Vermutung über die Reduktion modulo p einer Shimuravarietät S(G, h) ist zu Beginn des §5 formuliert. Dort erklären wir auch genau, welche Bedingungen wir an G und an die Primzahl p stellen. Der Rest des §5 ist dem Beweis der Sätze 5.21 und 5.25 gewidmet, die den Übergang von der Vermutung zur Formel (1.1) gestatten. Breiter Raum wird dabei der Definition der Kottwitz-Invariante gewidmet. Die restlichen Abschnitte sind von weniger zentralen Interesse für unsere Arbeit. Im §4 zeigen wir unter Annahme der Tate- und der Hodgevermutung, daß die Gerbe, die der mittels der Standardvermutungen konstruierten Tannakakategorie M_{F} der Motive über endlichen Körpern entspricht, samt zusätzlicher, beispielsweise durch die verschiedenen Kohomologietheorien definierten Struktur, zur Gerbe 𝒫 des dritten Abschnitts isomorph ist.

Dieser Abschnitt ist im wesentlichen eine etwas ausführlichere, aber immer noch skizzenhafte Darlegung des Kapitels VI. in [Sa]. Im §6 zeigen wir, daß die in §4 vorgenommene Identifizierung von Gerben die Vermutung des §5 für Shimuravarietäten, die gewisse Modulprobleme lösen, zum Beispiel für die der symplektischen Gruppe entsprechende Varietät, zur Folge hat. In diesem Abschnitt stützen wir uns auf Arbeiten von T. Zink [Z1], [Z2]. Da es sich dabei um einen konditionellen Satz handelt, haben wir uns kurz gefaßt. Wir weisen jedoch ausdrücklich auf den Beweis von Satz 6.3 hin, in dem der Satz 4.4 verwendet wird. Es ist an dieser Stelle, daß die weiter oben formulierte Kottwitz’sche Vermutung über abelsche Varietäten zum Tragen kommen sollte, so daß aus ihr die Formel (1.1) zumindest im Falle der symplektischen Gruppe folgen solle. Wir haben in der Tat den Beweis mit Absicht so geführt, daß er sich möglicherweise auf den Beweis der Formel (1.1) anwenden läßt. Im §7 führen wir zwei Beispiele an, eines, das zeigt, daß wir in der Vermutung des §5 die derivierte Gruppe als einfach-zusammenhängend annehmen müssen, und eines, das zeigt, daß im Falle schlechter Reduktion viele zulässige Homomorphismen ϕ nicht von der Form ψ_{T,μ} sind.

Zwei Fragen, die kaum zu umgehen sind, wenn man die Vermutung allgemein beweisen will, werden in dieser Arbeit nicht berührt. Erstens, wenn G → G′ eine zentrale Erweiterung ist mit G_{der} = G′_{der} = G_{sc}, und wenn die Vermutung für G′ gilt, gilt sie dann auch für G? Zweitens kommt es oft vor, daß eine Shimuravarietät Sh_{1} auf eine natürliche Weise in eine zweite Sh_{2} eingebettet ist. Das ist insbesondere so bei speziellen Punkten, für die Sh_{1} null-dimensional ist. Wie spiegelt sich diese Einbettung in der Beschreibung der Reduktion der beiden Varietäten wider?

Wir bedanken uns bei Kottwitz, der uns seine Ergebnisse und Ideen mitgeteilt hat und uns seine Aufzeichnungen zur Verfügung gestellt hat. Der erste Autor hat anläßlich der Issai Schur Memorial Lecture in Tel-Aviv im May 1984 und der Ritt Lecture an der Columbia University im Februar 1985 über die vorliegenden Ergebnisse vorgetragen und bedankt sich bei den Zuhörern an beiden Orten für ihre Nachsicht und Geduld beim Vortragen eines immer noch provisorischen Stoffes. Wir danken beide der Humboldt-Stiftung für ihre Understützung mehrmaliger Besuche des ersten Autors in Heidelberg, während derer diese Arbeit zustande gekommen ist.

Im folgenden ist p eine feste Primzahl, Q̄ der Körper der algebraischen Zahlen, den wir in einen algebraischen Abschluß Q̄_{p} von Q̄_{p} eingebettet haben. Wir bezeichnen mit F den entsprechenden algebraischen Abschluß von F_{p}.

§2. KOHOMOLOGISCHE KONSTRUKTIONEN

Dieser Abschnitt ist einigen Konstruktionen aus der Galoiskohomologie gewidmet. Zunächst erklären wir unsere Terminologie.

Es sei k ein Körper der Charakteristik Null, der für uns entweder ein globaler oder ein lokaler Körper sein wird. Es sei G eine algebraische Gruppe über einem algebraischen Abschluß k̄. Falls G = Spec A, A = Γ(G), und falls σ ∈ Gal(k̄/k), so heißt ein Automorphismus κ von G(k̄) σ-linear, falls es einen σ-linearen Automorphismus κ′ der Algebra A gibt, so daß

κ′(f)(κ(g)) = σ(f(g)), f ∈ A, g ∈ G(k).

Das einfachste Beispiel ergibt sich durch die Aktion von Gal(k̄/k) auf G(k̄), falls G über k definiert ist. Eine Galoisgerbe über k ist eine Gruppenerweiterung

1 ⟶ G(k̄) ⟶ 𝒢 ⟶ Gal(k̄/k) ⟶ 1

zusammen mit einem Schnitt σ ⟶ g_{σ} für σ ∈ Gal(k̄/K), für eine passende endliche Erweiterung K von k, so daß der σ-lineare Automorphismus

κ(σ) : g ⟶ g_{σ}gg_{σ}^{−1}, g ∈ G(k̄),

von einer K-Struktur auf G herrührt. Es muß außerdem für jedes σ ∈ Gal(k̄/k) und jeden Repräsentanten g_{σ} der Automorphismus κ(σ) σ-linear sein. Es ist dabei verstanden, daß die endliche Erweiterung K durch eine größere endliche Erweiterung K′ ersetzt werden kann, so daß es sich in Wirklichkeit um einen Schnittkeim {g_{σ}} für die Krulltopologie auf Gal(k̄/k) handelt. In den Bezeichnungen lassen wir den Schnittkeim häufig weg und bezeichnen eine Galoisgerbe, manchmal auch kurz Gerbe genannt, einfach mit 𝒢. Wir nennen G den Kern der Gerbe. Ein Homomorphismus von Gerben ist ein Homomorphismus der entsprechenden Erweiterungen, der die Schnittkeime ineinander überführt und dessen Einschränkung auf den Kern algebraisch ist. Ein Element g aus dem Kern definiert durch Konjugation einen Automorphismus einer Gerbe. In der Tat ist für eine genügend große endliche Erweiterung K/k das Element g K-rational.

g_{σ}gg_{σ}^{−1} = σ(g) = g,

so daß die Konjugation mit g den Schnittkeim erhält. Zwei Homomorphismen ϕ_{1} und ϕ_{2} zwischen zwei Gerben heißen äquivalent, falls ϕ_{2} = adg ∘ ϕ_{1} mit g aus dem Kern der zweiten Gerbe. Wir verweisen auf den §4 für den Vergleich unserer Terminologie mit der in der Theorie der Tannakakategorien üblichen. Das einfachste Beispiel einer Gerbe wird durch eine über k definierte algebraische Gruppe G definiert, das halbdirekte Produkt

𝒢_{G} = G(k̄) ⋊ Gal(k̄/k).

Eine solche Gerbe heißt neutral.

Wir führen zunächst einige Gerben über lokalen Körpern ein, als erste die Gewichtgerbe 𝒲, die über R definiert ist. Sie ist eine Erweiterung

1 → C^{×} ⟶ 𝒲 → Gal(C/R) ⟶ 1.

Wenn Gal(C/R) = {1, ι}, dann ist 𝒲 durch C^{×} und w = w(ι) erzeugt, wobei

w(ι)^{2} = −1 ∈ C^{×}

und

wzw^{−1} = ι(z) = z̄, z ∈ C^{×}.

Die Gruppe C^{×} ist also als G_{m}(C) aufzufassen.

Als zweites führen wir die Dieudonnégerben ein. Die eigentliche Dieudonnégerbe wird sich als direkter Limes solcher Gerben erweisen. Es sei also K eine endliche Galoiserweiterung von Q_{p}. Wir definieren folgendermaßen eine Erweiterung:

1 → K^{×} → 𝒟_{K}^{K} → Gal(K/Q_{p}) → 1.

Sie wird durch K^{×} und d_{K}^{K}(σ) erzeugt, wobei d_{K}^{K}(σ) → σ, d_{K}^{K}(σ)z = σ(z)d_{K}^{K}(σ), z ∈ K^{×}, und d_{K}^{K}(ϱ)d_{K}^{K}(σ) = d_{ϱ,σ}^{K}d_{K}^{K}(ϱσ). Dabei ist d_{ϱ,σ}^{K} ein 2-Kozyklus in der fundamentalen Klasse der Erweiterung K/Q_{p}. Die Erweiterung ist bis auf Isomorphismus eindeutig bestimmt, und dem Satz 90 zufolge ist dieser Isomorphismus bis auf Konjugation mit einem Element aus K^{×} eindeutig bestimmt.

Die Gerbe 𝒟^{K} erhalten wir durch Zurückziehen und Vorwärtsschieben mittels des Diagramms

Gal(Q̄_{p}/Q_{p})
↓
1 ⟶ K^{×} ⟶ 𝒟_{K}^{K} ⟶ Gal(K/Q_{p}) ⟶ 1
↓
Q̄_{p}^{×}

Die Gruppe Q̄_{p}^{×} ist wiederum als G_{m}(Q̄_{p}) aufzufassen.

Wir bezeichnen den Repräsentanten von σ in 𝒟^{K} mit d_{σ}^{K} = d_{σ}, und fassen d_{ϱ,σ}^{K} als einen Kozyklus zur Gruppe Gal(Q̄_{p}/Q_{p}) auf. Es sei K ⫅ K′. Dann gilt

(d_{ϱ,σ}^{K′})^{k} = d_{ϱ,σ}^{K}c_{ϱ}ϱ(c_{σ})c_{ϱσ}^{−1}, k = [K′ : K].

Wir können also einen Homomorphismus 𝒟^{K′} → 𝒟^{K} definieren, indem wir z ∈ Q̄_{p}^{×} nach z^{k} schicken, und d_{ϱ}^{K′} nach c_{ϱ}^{−1}d_{ϱ}^{K}. Wegen des Satz 90 ist dieser Homomorphismus bis auf Konjugation mit einem Element aus Q̄_{p}^{×} eindeutig bestimmt.

Lemma 2.1. Es sei ϕ : 𝒟^{K} → 𝒢 ein Homomorphismus von Gerben. Dann gibt es eine unverzweigte Erweiterung L von Q_{p}, einen Homomorphismus ψ : 𝒟^{L} → 𝒢, und eine Erweiterung K_{1}, die K und L enthält, so daß das folgende Diagramm kommutativ ist:

𝒟^{K_{1}} ⟶ 𝒟^{L}
↓  ↓ψ
𝒟^{K}  \overrightarrow{ϕ} 𝒢.

Es seien L die unverzweigte Erweiterung von Q_{p}, deren Grad über Q_{p} gleich dem von K ist und K_{1} die Zusammensetzung von L und K. Da die zwei Kozyklen d_{ϱ,σ}^{K} und d_{ϱ,σ}^{L} äquivalent sind, sind 𝒟^{K} und 𝒟^{L} isomorph. Der Isomorphismus ist bis auf Konjugation mit einem Element aus Q̄_{p}^{×} eindeutig bestimmt. Die Existenz von ψ ist deshalb klar.

Es ist klar, daß das Verfahren, mit dem wir 𝒟^{K} definiert haben, über einem beliebigen lokalen Körper verwendbar ist. Über R führt es zur Gruppe 𝒟^{C} = 𝒲, und wir brauchen es tatsächlich nur über R und Q_{p}. Nichtsdestoweniger der Klarheit halber werden wir die globalen Gerben dieses Abschnitts allgemeiner als eigentlich nötig einführen, und dafür brauchen wir die allgemeinen 𝒟^{K}’s. Die triviale Gerbe

1 → Gal(k̄/k) → Gal(k̄/k) → 1

bezeichnen wir mit Gal_{k} und, wenn k = Q_{l}, mit 𝒢_{l}.

Es sei jetzt T ein Torus über dem endlichen Zahlkörper F, der über der Galoiserweiterung L zerfällt. Wie üblich seien

X^{∗}(T) = Hom(T, G_{m}), X_{∗}(T) = Hom(X^{∗}(T), Z).

Das zu μ ∈ X_{∗}(T) gehörige Element aus Hom(G_{m}, T) schreiben wir in der Form: x → x^{μ}. Wir fixieren im folgenden zwei Stellen ν_{1} und ν_{2} von F, die wir auf L erweitern. Die erweiterten Stellen werden mit ν′_{1} und ν′_{2} bezeichnet. Es seien gegeben zwei Elemente ν_{1} und ν_{2} aus X_{∗}(T) mit folgenden Eigenschaften:

(2.a) ν_{i} ist invariant unter Gal(L_{ν′_{i}}/F_{ν_{i}}).

(2.b) Es gilt

∑_{σ∈Gal(L/F)/Gal(L_{v′_{1}} /F_{v_{1}} )} σν_{1} + ∑_{σ∈Gal(L/F)/Gal(L_{v′_{2}} /F_{v_{2}} )} σν_{2} = 0.

Nach der Theorie von Tate-Nakayama entspricht ν_{i} einer Klasse α_{i} aus H^{2}(Gal(L_{v′_{i}}/F_{v_{i}}))(T (L_{v_{i}})). Wegen (2.b) existiert ferner eine globale Klasse aus H^{2}(Gal(L/F), T (L)), deren lokale Komponenten außerhalb v_{1} und v_{2} trivial sind und die in v_{i} gleich α_{i} ist. Diese globale Klasse, die allerdings nicht eindeutig definiert ist, spielt eine wichtige Rolle in der Konstruktion der T, ν_{1}, ν_{2} zugeordneten Gerbe 𝒯_{ν_{1},ν_{2}}. Sie wird jetzt mit Hilfe der Weilgruppe explizit eingeführt.

Die Gerbe 𝒯 = 𝒯_{ν_{1},ν_{2}} ist eine Gerbe über F mit Kern T, folglich eine Erweiterung

1 → T (F̄) → 𝒯 → Gal(F̄/F) → 1.

Um sie zu definieren, brauchen wir einen 2-Kozyklus {t_{ϱ,σ}} von Gal(F̄/F) mit Werten aus T (F̄). Dann ist 𝒯 durch t_{ϱ}, ϱ ∈ Gal(F̄/F) und T (F̄) erzeugt, und

t_{ϱ}t_{σ} = t_{ϱ,σ}t_{ϱσ}.

Die Lokalisierung 𝒢_{v} von 𝒢 an der Stelle v von F ist eine Gerbe über F_{v}, die durch folgendes Diagramm definiert werden kann:

Gal(F̄_{v}/F_{v})
↓
1 ⟶ 𝒢(F̄) ⟶ 𝒢 ⟶ Gal(F̄/F)
↓
𝒢(F̄_{v})

Ein Homomorphismus ϕ einer über F_{v} definierten Gerbe ℋ nach 𝒢 ist ein Homomorphismus von ℋ nach 𝒢_{v}.

Gewöhnlicherweise ist es besser, eine endliche Erweiterung K von F derart zu wählen, daß 𝒢 über K definiert werden kann, also durch ein Diagramm:

Gal(F̄/F)
↓
1 ⟶ G(K) ⟶ 𝒢_{K} ⟶ Gal(K/F) ⟶1
↓
G(K̄)

Wenn v′_{0} eine Erweiterung von v auf K ist, kann 𝒢_{v} über K_{v′_{0}} definiert werden, und wenn K hinreichend groß ist, ist ℋ auch über K_{v′_{0}} definiert und ϕ durch ϕ : ℋ_{K_{v′_{0}}} → 𝒢_{K_{v′_{0}}} .

Um die Wahl von v′_{0} zu vermeiden, können wir durch die Einbettung

G(K) → ∏_{v′|v} G(K_{v′})

eine Erweiterung

1 → ∏_{v′|v} G(_{Kv′}) → 𝒢_{v}^{∗} → Gal(K/F) → 1

einführen. In dem Fall, daß G über F definiert ist und g_{σ}gg_{σ}^{−1} = σ(g), und wir intressieren uns für keinen anderen, läßt sich die Erweiterung 𝒢_{v}^{∗} mittels 𝒢_{v} allein definieren.

In der Tat, jedem v′ ordnen wir ein μ = μ_{v′} aus Gal(K/F) der Art zu, daß |μx|_{v′} = |x|_{v′_{0}}, x ∈ K. Dann erweitert sich μ : x → μx zu einem Isomorphismus μ : K_{v′_{0}} → K′_{v}, der wiederum μ : G(K_{v′_{0}}) → G(K_{v′}) definiert. Folglich ist

∏_{v′|v} G(K_{v′})

ein induziertes Objekt für die Gruppe Gal(K/F). Der Kozyklus {g_{ϱ,σ}} nimmt Werte in dieser Gruppe und zwar in ihrem Zentrum an. Wir können einen zweiten Kozyklus einführen, indem wir

σμ = μ′σ_{μ′}, ϱμ′ = μ′′ϱ_{u′′}, ϱ_{μ′′}, σ_{μ′} ∈ Gal(K_{v′_{0}}|F_{v})

schreiben, und

g′_{ϱ,σ} = ∏_{μ′′} μ′′g_{ϱ_{μ′′} ,σ_{μ′}} .

setzen. Es liegen μ, μ′, μ′′ in {μ_{v′}}, das ein Repräsentantensystem für Gal(K_{v′_{0}}/K_{v}) in Gal(K/F) ist, und das Produkt erstreckt sich über diese Menge. Nach dem Shapirolemma angewandt auf das Zentrum sind die beiden Kozyklen {g_{ϱ,σ}} und {g′_{ϱ,σ}} äquivalent.

Wir können dasselbe Verfahren auf ℋ anwenden, um ℋ^{∗} zu bekommen. Dann definiert ϕ : ℋ → 𝒢_{v} auch ϕ^{∗} : ℋ^{∗} → 𝒢_{v}^{∗}. Wenn wir das Shapirolemma nochmals anwenden, diesmal auf G, sehen wir sofort ein, daß zwei Homomorphismen ϕ, ϕ_{1} dann und nur dann äquivalent sind, wenn ϕ_{1}^{∗} = ad g ∘ ϕ^{∗} mit g ∈ ∏_{v′|v} G(K_{v′}).

Diese etwas umständlichen Betrachtungen werden vorgeführt, weil 𝒯 mit Homomorphismen

ζ_{v_{i}} : 𝒟^{L_{v′_{i}}} → 𝒯, i = 1, 2, ζ_{v} : Gal_{F_{v}} → 𝒯, v ≠ v_{i},

ausgestattet werden soll. Die Einschränkung von ζ_{v_{i}} auf den Kern wird durch x → x^{ν_{i}} definiert. Es seien d_{ϱ,σ}^{1} und d_{ϱ,σ}^{2} die durch (d_{ϱ,σ}^{L_{v′_{1}}} )^{ν_{1}} und (d_{ϱ,σ}^{L_{v′_{2}}} )^{ν_{2}} definierten Kozyklen von Gal(F̄/F) mit jeweiligen Werten in ∏_{v′|v_{i′}} T (L_{v′}).

Nach den vorangestellten Bemerkungen werden ζ_{v_{i}} und ζ_{v} definiert sein, wenn wir jedem ϱ aus Gal(L/F) ein Element e_{ϱ} aus T (A_{L}) zuordnen können, so daß

e_{ϱ}ϱ(e_{σ})e_{ϱσ}^{−1}t_{ϱ,σ} = d_{ϱ,σ}^{1}d_{ϱ,σ}^{2}.

Die Abbildung ζ_{v}^{∗}, wobei v gleich v_{i} sein kann, erhält man, indem man e_{ϱ} auf ∏_{v′|v} T (L_{v}) projiziert, um e_{ϱ}(v) zu bekommen, und dann d_{ϱ} (v = v_{i}) oder ϱ (v ≠ v_{i}) nach e_{ϱ}(v)t_{ϱ} schickt.

Um den Kozyklus {t_{ϱ,σ}} und die Elemente e_{ϱ} zu bekommen, wählen wir in der üblichen Weise [MS1] Diagramme

1 ⟶ L_{v_{i}}^{∗} ⟶ W_{L_{v_{i}} /F_{v_{i}}} ⟶ Gal(L_{v_{i′}} /F_{v_{i}}) ⟶ 1
↓ ↓ ↓
1 ⟶ C_{L} ⟶ W_{L/F} ⟶ Gal(L/F) ⟶ 1

Wir wählen ferner wie in [MS1] Repräentantensysteme 𝔖_{i} von Gal(L/F)/Gal(L_{v′_{i}}/F_{v_{i}}) mit 1 ∈ 𝔖_{i}. Schließlich wählen wir Repräsentanten ω_{σ} ∈ W_{L_{v′_{i}} /F_{v_{i}}} von σ ∈ Gal(L_{v′_{i}}/F_{v_{i}}) und ω_{μ} ∈ W_{L/F} von μ ∈ 𝔖_{i} mit ω_{1} = 1 in beiden Fällen und setzen

ω_{μσ} = ω_{μ}ω_{σ}, μ ∈ 𝔖_{i}, , σ ∈ Gal(L_{v′_{i}}/F_{v_{i}}).

Diese Repräsentanten sowie der entsprechende durch die Gleichungen

ω_{ϱ}ω_{σ} = A_{ϱ,σ}(i)ω_{ϱσ}, ϱ, σ ∈ Gal(L/F)

definierte Kozyklus hängen von i ab. Es gelten folgende Bedingungen:

(i) A_{ϱ,σ}(i) = d_{ϱ,σ}^{L_{v′_{i}}} , ϱ, σ ∈ Gal(L_{v′_{i}}/F_{v_{i}}),

(ii) A_{μ,σ}(i) = 1, σ ∈ Gal(L_{v′_{i}}/F_{v_{i}}), μ ∈ 𝔖_{i},
(iii) A_{μϱ,σ}(i) = μA_{ϱ,σ}(i) ∈ μ(L_{v_{i′}}), ϱ, σ ∈ Gal(L_{v′_{i}}/F_{v_{i}}), μ ∈ 𝔖_{i}.

Um d_{ϱ,σ}^{i} zu definieren, brauchen wir ein Repräsentantensystem von Gal(L_{v′_{i}}/F_{v_{i}}). Wir nehmen die ω_{σ}. Es sei

η = ∑_{σ∈Gal(L/Q)/Gal(L_{v′_{1}} /F_{v_{1}} )} σν_{1} = − ∑_{σ∈Gal(L/Q)/Gal(L_{v′_{2}} /F_{v_{2}} )} σν_{2}.

Die Kozyklen {A_{ϱ,σ}(1)} und {A_{ϱ,σ}(2)} sind kohomolog. Es gelte

A_{ϱ,σ}(1)A_{ϱ,σ}^{−1}(2) = B_{ϱ}ϱ(B_{σ})B_{ϱσ}^{−1},

mit B_{ϱ} ∈ C_{L}. Dann gilt auch (2.c) A_{ϱ,σ}^{η}(1)A_{ϱ,σ}^{−η}(2) = B_{ϱ}^{η}ϱ(B_{σ})^{η}B_{ϱσ}^{−η}. Wir führen folgende Elemente aus C_{L} ⊗ X_{∗}(T) ein:

C_{ϱ}(i) = ∏_{μ∈𝔖_{i}} A_{ϱ,μ}^{−ϱμν_{i}}(i); E_{ϱ} = C_{ϱ}(1)C_{ϱ}(2)B_{ϱ}^{η}.

Eine leichte Rechnung zeigt, daß

(2.d) E_{ϱ}ϱ(E_{σ})E_{ϱσ}^{−1} = d_{ϱ,σ}^{1}d_{ϱ,σ}^{2}, ϱ, σ ∈ Gal(L/F). Diese Gleichung gewinnt erst einen Sinn, wenn man bemerkt, daß

∏_{v′|v_{i}} T (L_{v′}) ↪ C_{L} ⊗ X_{∗}(T).

Der Rand von C_{ϱ}(i) ist nämlich

{∏_{μ} A_{ϱ,μ}^{−ϱμν_{i}}} {∏_{μ} ϱA_{σ,μ}^{−ϱσμν_{i}}A_{ϱσ,μ}^{ϱσμν_{i}}}

oder

A_{ϱ,σ}^{±η}(i) ∏_{μ} A_{ϱ,μ}^{−ϱμν_{i}}(i)A_{ϱ,μσ_{μ}}^{ϱμν_{i}}(i),

mit Vorzeichen gleich (−1)^{i}. Es gilt ferner

∏_{μ} A_{ϱ,μ}^{−ϱμν_{i}}(i)A_{ϱ,μσ_{μ}}^{ϱμν_{i}}(i) = ∏_{μ} A_{ϱμ,σ_{μ}}^{ϱμν_{i}}(i) = ∏_{μ′} μ′A_{ϱμ′,σ_{μ}}^{μ′ν_{i}}(i) = d_{ϱ,σ}^{i}.

Damit folgt (2.d) aus (2.c).

Die Elemente d_{ϱ,σ}^{i} gehören schon zu ∏_{v′|v_{i}} T (L_{v′}) ⫅ T (A_{L}). Wir liften E_{ϱ} nach e_{ϱ} ∈ T (A_{L}) und erhalten somit aus (2.d) Gleichungen

e_{ϱ}ϱ(e_{σ})e_{ϱσ}^{−1}t_{ϱ,σ} = d_{ϱ,σ}^{1}d_{ϱ,σ}^{2}

mit t_{ϱ,σ} ∈ T (L).

Es muß jetzt nachgeprüft werden, daß 𝒯 mit den zusätzlichen lokalen Homomorphismen von sämtlichen während seiner Konstruktion getroffenen Wählen unabhängig ist, wobei zu bemerken ist, daß eine Abänderung von e_{ϱ} in fϱ(f^{−1})e_{ϱ}, f ∈ T (A_{L}) zulässig ist, denn die lokalen Homomorphismen werden dabei durch äquivalente ersetzt.

Diese Wählakte zählen wir zunächst auf: (i) die Liftungen e_{ϱ} von E_{ϱ}: (ii) die berandende Kokette {B_{ϱ}}; (iii) das Repräsentantensystem 𝔖_{i} und die Repräsentanten ω_{μ}; (iv) die Einbettung W_{L_{v′_{i}} /F_{v_{i}}} → W_{L/F} und die Repräsentanten ω_{ϱ}, ϱ ∈ Gal(L_{v′_{i}/F_{v_{i}}}); (v) die v_{i} teilende Stelle v′_{i}.

(i) Wenn wir e_{ϱ} durch e′_{ϱ} = s_{ϱ}e_{ϱ} ersetzen, erhalten wir den Kozyklus

t′_{ϱ,σ} = s_{ϱ}^{−1}ϱ(s_{σ})^{−1}s_{ϱσ}t_{ϱ,σ}.

Der durch t′_{ϱ} → S_{ϱ}^{−1}t_{ϱ} definierte Homomorphismus überträgt die gestrichenen lokalen Homomorphismen in die ungestrichenen.

(ii) Wenn wir B_{ϱ} durch F ϱ(F^{−1})B_{ϱ} ersetzen, wird E_{ϱ} durch E_{ϱ}F^{η}ϱ(F^{−η}) ersetzt. Wir können also e_{ϱ} durch e_{ϱ}fϱ(f^{−1}) ersetzen, wobei f eine Liftung von F^{η} ist. Somit bleibt {t_{ϱ,σ}} erhalten.

(iii) Die Repräsentanten ω_{μ}, μ ∈ 𝔖_{1}, können wir durch b_{μ}ω_{μ} ersetzen. Dann wird allgemein ω_{σ} durch b_{σ}ω_{σ} ersetzt, wobei b_{μϱ} = b_{μ}, μ ∈ 𝔖_{1}, ϱ ∈ Gal(L_{v_{i′}} /F_{v_{1}}). Wir hätten ferner

B′_{ϱ} = b_{ϱ}B_{ϱ}

statt B_{ϱ} und

\begin{aligned}C_{ϱ′}(1) & = C_{ϱ}(1). ∏_{μ} b_{ϱ}^{−ϱμν_{1}}ϱ(b_{μ})^{−ϱμν_{1}}b_{ϱμ}^{ϱμν_{1}} \\ & = C_{ϱ}(1)b_{ϱ}^{−η}F ϱ(F)^{−1} \end{aligned}

mit

F = ∏_{μ} b_{μ}^{μν_{i}},

denn

b_{ϱμ}^{ϱμν_{i}} = b_{μ}^{μ′ν_{i}},

wenn ϱμ = μ′ϱ_{μ′}, ϱ_{μ′} ∈ Gal(L_{v′_{1}}/F_{v_{1}}). Daher können wir e_{ϱ} durch e_{ϱ}fϱ(f^{−1}) mit f einer Liftung von F ersetzen, und t_{ϱ,σ} bleibt dabei erhalten.

Das Repräsentantensystem {μ} können wir durch {μ′ = μσ(μ)} ersetzen, wobei σ(μ) ∈ Gal(L_{v′_{i}}/F_{v_{i}}). Wir wählen ω′_{μ′} = ω_{μ′} = ω_{μ}ω_{σ(μ)}. Dann gilt allgemein

ω′_{μ′σ} = ω_{μ}ω_{σ(μ)}ω_{σ} = μ(A_{σ(μ),σ}(1))ω_{μ′σ}, σ ∈ Gal(L_{v′_{1}}/F_{v_{1}}).

Wir setzen

b_{μ′σ} = μA_{σ(μ),σ}(1).

Es liegt in μ(L_{v′_{i}}). Der neue Kozyklus ist

A′_{ϱ,σ}(1) = ϱ(b_{σ})b_{ϱ}b_{ϱσ}^{−1}A_{ϱ,σ}(1).

Es gilt ferner

\begin{aligned}C′_{ϱ}(1) & = ∏_{μ′} A′_{ϱ,μ′}(1)^{−ϱμ′ν_{1}} \\ & = \{∏_{μ} A_{ϱ,μσ(μ)}(1)^{−ϱμν_{1}}\} \{∏_{μ} (b_{ϱ}b_{ϱμ′}^{−1}ϱμ(A_{σ(μ),1}))^{−ϱμν_{1}}\}. \end{aligned}

Der zweite Faktor ist gleich

∏(b_{ϱ}b_{ϱμ′}^{−1})^{−ϱμν_{1}},

denn A_{σ(μ),1} = 1. Der erste ist

C_{ϱ}(1) · ∏_{μ} A_{ϱμ,σ(μ)}^{−ϱμν_{1}}.

Folglich ist

E′_{ϱ} = E_{ϱ}{∏_{μ} A_{ϱμ,σ(μ)}^{−ϱμν_{1}}b_{ϱμ′}^{ϱμν_{1}}},

wenn B′_{ϱ} = b_{ϱ}B_{ϱ}. Der zweite Faktor liegt in ∏_{v′|v_{1}} T (L_{v′}) und wird deshalb automatisch geliftet.

Es unterscheiden sich also t′_{ϱ,σ} und t_{ϱ,σ} nur um ein Element aus ∏_{v′|v_{1}} T (L_{v′}). Da t_{ϱ,σ} und t′_{ϱ,σ} in T (L) liegen, gilt t_{ϱ,σ} = t′_{ϱ,σ}. Es unterscheiden sich auch e′_{ϱ} und e_{ϱ} nur um ein Element aus ∏_{v′|v_{1}} T (L_{v′}). Folglich sind die lokalen Homomorphismen außerhalb der Stelle v_{1} gleich. Um zu zeigen, daß sie auch in v_{1} gleich sind, genügt es zu zeigen, daß die Projektion von

∏_{μ} A_{ϱμ,σ(μ)}^{−ϱμν_{1}}b_{ϱμ}^{ϱμν_{1}}

auf T (L_{v′_{1}}) gleich 1 ist, wenn ϱ ∈ Gal(L_{v′_{1}}/F_{v_{1}}). Das einzige Glied des Produkts, das zu dieser Projektion beiträgt, ist das μ = 1 entsprechende, und es ist 1, denn σ(1) = 1 und

A_{ϱμ,1} = 1, b_{ϱ} = 1.

(iv) Die Einbettung ϕ : W_{L_{v′_{1}} /F_{v_{1}}} → W_{L/F} können wir nur abändern, indem wir ϕ durch adx ∘ ϕ ersetzen, x ∈ C_{L}. Wir können also ω_{σ} durch xσ(x^{−1})ω_{σ} für jedes σ ∈ Gal(L/F) ersetzen. Alle Kozyklen bleiben dabei erhalten.

Wenn wir ω_{ϱ} durch b_{ϱ}ω_{ϱ}, b_{ϱ} ∈ L_{v′_{1}}^{×} ersetzen, können wir ω_{μ} behalten, so daß A_{ϱ,σ}(1) durch

A′_{ϱ,σ}(1) = A_{ϱ,σ}(1)b_{ϱ}ϱ(b_{σ})b_{ϱσ}^{−1}

ersetzt wird, wobei

b_{μϱ} = μ(b_{ϱ}), ϱ ∈ Gal(L_{v′_{1}}/F_{v_{1}}).

Da μ(b_{ϱ}) ∈ μ(L_{v′_{1}}) liegt, hat diese Abänderung keinen Einfluß, weder auf t_{ϱ,σ} noch auf die lokalen Homomorphismen außerhalb v_{1}. Daß die Abänderung auch keinen Einfluß auf die Äquivalenzklasse von ζ_{v_{1}} hat, prüft man leich nach, wenn man darauf achtet, daß der auf Gal(L_{v′_{1}}/F_{v_{1}}) abgeänderte Kozyklus auch in der Definition von 𝒟^{L_{v′_{1}}} auftritt. Die Repräsentanten ω_{σ}, σ ∈ Gal(L_{v′_{1}}/F_{v_{1}}) werden nämlich durch ω_{σ′} = b_{σ}ω_{σ} ersetzt, und die Projektion von e_{σ} auf T (L_{v′_{1}}) mit b_{σ}^{η} multipliziert.

(v) Die letzte zu behandelnde Willkürlichkeit ist die Wahl von v′_{1}. Jede andere v_{1} teilende Stelle v′′_{1} von L bekommt man, indem man λ ∈ 𝔖_{1} wählt und v′′_{1} durch

|λx|_{v′′_{1}} = |x|_{v′_{1}}

definiert. Dann ist

Gal(L_{v′′_{1}}/F_{v_{1}}) = λGal(L_{v′_{1}}/F_{v_{1}})λ^{−1}.

Dementsprechend erhalten wir die der Stelle v′′_{1} entsprechenden Kozyklen und Objekte, indem wir mit λ konjugieren. Zum Beispiel

A′_{ϱ,σ}(1) = λ(A_{λ^{−1}ϱλ,λ^{−1}σλ}(1)).

Dieser Kozyklus ist dem alten kohomolog und eine leichte Rechnung ergibt

A′_{ϱ,σ}(1) = A_{ϱ,σ}(1)D_{ϱ}ϱ(D_{σ})D_{ϱσ}^{−1}

mit

D_{ϱ} = λ(A_{λ^{−1},ϱλ}^{−1}(1))A_{ϱ,λ}^{−1}(1)A_{λ,λ^{−1}}(1).
Es gilt ferner, wenn wir A′_{ϱ,σ}(1) zu A′_{ϱ,σ} abkürzen,

C′_{ϱ}(1) = ∏_{μ}(A_{ϱ,λμλ^{−1}})^{−ϱλμν_{1}},

denn ν′_{1} = λν_{1}. Es sei λμ = μ′λ_{μ′} mit μ′ ∈ 𝔖_{1} und λ_{μ′} ∈ Gal(L_{v′_{1}}/F_{v_{1}}). Dann gilt

\begin{aligned}A_{ϱ,λμλ^{−1}} & = A_{ϱ,μ′λ_{μ′} λ^{−1}} \\ & = ϱ(A′_{μ′,λ_{μ},λ^{−1}})^{−1}A′_{ϱ,μ′}A′_{ϱμ′,λ_{μ′} λ^{−1}}, \end{aligned}

und

A′_{ϱ,μ′} = A_{ϱ,μ′}ϱ(D_{μ′})D_{ϱ}D_{ϱμ′}^{−1}.

Hieraus schließen wir sofort, daß E′_{ϱ} und E_{ϱ} sich um den Faktor

(2.e) {∏_{μ} ϱ(A_{μ,λ_{μ}λ^{−1}})^{ϱμν_{1}}} {∏_{μ} A′_{ϱμ,λ_{μ}λ^{−1}}}^{−ϱμν_{1}}{∏_{μ} ϱ(D_{μ})^{−ϱμν_{1}}D_{ϱμ}^{ϱμν_{1}}}

unterscheiden, wo wir μ statt μ′ schreiben.

Wir betrachten

(2.f)  ∏_{μ}(A′_{ϱμ,λ_{μ}λ^{−1}}D_{ϱμ}^{−1})^{ϱμν_{1}},

das von ϱ abhängt und zeigen, daß es sich als ein Produkt

ϱ(X)Y Z_{ϱ}

darstellen läßt, wobei X und Y von ϱ unabhängig sind, und Z_{ϱ} in ∏_{v′|v_{1}} T (L_{v′}) liegt. Dann ist (2.e) gleich

ϱ(Y)Y^{−1}ϱ(Z_{1})Z_{ϱ}^{−1},

woraus sofort folgt, daß {t_{ϱ,σ}} erhalten bleibt, sowie die lokalen Homomorphismen außerhalb v_{1}. Statt (2.f) behandeln wir (2.g) A′_{ϱμ,λ_{μ}λ^{−1}}D_{ϱμ}^{−1}

und schreiben es als

ϱ(X_{μ})Y_{μ′}Z_{μ,ϱ}.

Hier ist ϱμ = μ′ϱ_{μ′}, ϱ_{μ′} ∈ Gal(L_{v′_{1}/F_{v_{1}}} ). Der Ausdruck (2.g) gleicht

A_{ϱμ,λ_{μ}λ^{−1}}ϱμ(D_{λ_{μ}λ^{−1}})D_{ϱμλ_{μ}λ^{−1}}^{−1},

das wir entwickeln, um ein Produkt mit sieben Gliedern zu bekommen

A_{ϱμ,λ_{μ}λ^{−1}}ϱμλ(A_{λ^{−1}λ_{μ}}^{−1})ϱμ(A_{λ_{μ}λ^{−1},λ}^{−1})ϱμ(A_{λ,λ^{−1}})λ(A_{λ^{−1},ϱμλ_{μ}})A_{ϱμλ_{μ}λ^{−1},λ}A_{λ,λ^{−1}}^{−1}.

Wir setzen

X_{μ} = μλ(A_{λ^{−1},λ_{μ}}^{−1})μ(A_{λ,λ^{−1}}).

Aus dem gesamten Produkt schneiden wir

A_{ϱμ,λ_{μ}λ^{−1}}ϱμ(A_{λ_{μ}λ^{−1},λ}^{−1}) = A_{ϱμλ_{μ}λ^{−1},λ} = A_{ϱμ,λ_{μ}}

heraus und fügen es Z_{μ′,ϱ} zu. Das Glied A_{λ,λ^{−1}}^{−1} wird Y_{μ′} beigefügt. Es bleibt übrig

\begin{aligned}λ(A_{λ^{−1},ϱμλ_{μ}}) & = λ(A_{λ^{−1},μ′ϱ_{μ′} ,λ_{μ}}) \\ & = A_{μ′,ϱ_{μ′} λ_{μ}}^{−1}λ(A_{λ^{−1}μ′,ϱ_{μ′} λ_{μ}})λ(A_{λ^{−1},μ′}). \end{aligned}

Hiervon bekommt Z_{μ,ϱ} das Produkt

A_{μ′,ϱ_{μ′} λ_{μ}}^{−1}λ(A_{λ^{−1}μ′,ϱ_{μ′} λ_{μ}}) = λ(A_{λ^{−1}μ′,ϱ_{μ′} λ_{μ}})

und Y_{μ′} das Glied λ(A_{λ^{−1},μ′}).

Wie schon hervorgehoben, müssen wir, um die Äquivalenz der Homomorphismen in v_{1} zu zeigen, nur die Homomorphismen von 𝒟^{L_{v{′′ \atop 1}}} nach 𝒯 betrachten. Der durch v′′_{1} definierte Homomorphismus entspricht dem Kozyklus A′_{ϱ,σ}(1), ϱ, σ ∈ Gal(L_{v′′_{1}}/F_{v_{1}}). Der durch v′_{1} definierte entspricht der Projektion von d_{ϱ,σ}^{1} auf T (L_{v′′_{1}}), ϱ, σ ∈ Gal(L_{v′′_{1}}/F_{v_{1}}). Da ϱλ = λλ^{−1}ϱλ = λϱ_{λ}, ϱ ∈ Gal(L_{v′′_{1}}/F_{v_{1}}), ist diese Projektion nichts anderes als A′_{ϱ,σ}(1). Bis auf einen Rand ist für ϱ ∈ Gal(L_{v′′_{1}}/F_{v_{1}}) die Projektion von (2.e) auf T (L_{v′′_{1}}) gleich der von ϱ(Z_{1})Z_{ϱ}^{−1}, die ihrerseits gleich ist

ϱ(A_{λ,1})ϱλ(A_{1,1})A_{ϱμ,1}^{−1}λ(A_{1,ϱλ}^{−1}) = 1,

denn λ_{λ} = 1, ϱλ = λϱ_{λ}.

Es gibt noch eine Verträglichkeit nachzuprüfen, die sogar etwas ärgerlicher als die vorherigen ist. Es sei nämlich L′ ⫆ L eine zweite Galoiserweiterung von F und w′_{i} Primstellen von L′, die v′_{i} teilen. Es sei

ν′_{i} = [L_{w′_{i}} : L_{v′_{i}}]ν_{i} = l_{i}ν_{i}.

Wir können 𝒯_{ν′_{1},ν′_{2}} samt zusätzlichen lokalen Homomorphismen einführen, und wir müssen zeigen, daß die so ausgestatteten 𝒯_{ν_{1},ν_{2}} und 𝒯_{ν′_{1},ν′_{2}} kanonisch isomorph sind.

Wir vereinfachen die Bezeichnungen folgendermaßen:

G = Gal(L/F),  G′ = Gal(L′/F),  H = Gal(L′/L),
G_{i} = Gal(L_{v′_{i}}/F_{v_{i}}),  G′_{i} = Gal(L′_{w′_{i}}/F_{v_{i}}),  H_{i} = Gal(L_{w′_{i}}/L_{v_{i}}).

Die Gruppe H_{i} ist H ∩G_{i}, und wir wählen Repräsentanten λ von H_{i} in H. Dann wählen wir Repräsentanten μ′ von HG′_{i} in G′. Als Repräsentanten von G′_{i} in G′ nehmen wir die μ′λ. Schließlich nehmen wir die Projektionen μ der μ′ auf G als Repräsentanten von G_{i} in G. In der Weilgruppe W_{L′/F} wählen wir ω_{μ′λ} = ω_{μ′} · ω_{λ} mit ω_{λ} ∈ w_{L′/L}. Wir wählen auch Rechtsrepräsentanten ν von H_{i} in G′_{i} und setzen

ω_{γν} = ω_{γ}ω_{ν}, γ ∈ H_{i}.

Dann gilt

ω_{λ·γ}ω_{ν} := ω_{λ} · ω_{γ} · ω_{ν} = ω_{λγν},

so daß

A_{γ,ν} = 1,

wenn γ in H und ν in dem Rechtsrepräsentantensystem enthalten sind.

Es sei

D_{ϱ′}(i) = ∏_{γ∈H} A_{ϱ′,γ}(i).

Wir betrachten den Kozyklus

A′_{ϱ′,σ′}(i) = A_{ϱ′,σ′}^{l}(i)D_{ϱ′}^{−1}(i)ϱ′(D_{σ′}^{−1}(i))D_{ϱ′σ′}(i)

mit l = [H : 1]. Man rechnet leicht nach, daß er gleich ist

∏_{γ} A_{ϱ′,γ}^{−1}A_{ϱ′,σ′,γ}.

Folglich hängt er nur von der Projektion σ von σ′ auf G ab und ist 1, falls σ′ ∈ H.

Wir zeigen zunächst, daß

(2.h) A′_{ϱ′,σ′}(i) = 1, wenn ϱ′ ∈ H und σ′ ∈ HG′_{i}. Das Element σ′γ läßt sich als δν schreiben mit δ ∈ H und ν aus dem Rechtsrepräsentantensystem. Dann gilt

A′_{ϱ′,σ′,γ}(i) = ϱ′(A′_{δ,ν}(i))^{−1}A′_{ϱ′δ,ν}(i)A′_{ϱ′,δ}(i) = A′_{ϱ′,δ}(i).

Folglich

∏_{γ} A_{ϱ′,σ′γ}(i) = ∏_{δ} A′_{ϱ′,δ}(i).

Da δ auch H durchläuft, ist (2.h) gültig.

Aus der Kozykelbedingung schließen wir, daß A′_{ϱ′,σ′}(i) nur von den Projektionen ϱ, σ abhängt und in C_{L} enthalten ist, wenn ϱ′, σ′ in HG′_{i} liegen. Es liegt in der Tat in L_{v′_{i}} = C_{L} ∩ ∏_{w′|v′_{i}} L′_{w′}, denn

A′_{ϱ′,σ′}(i) = ∏_{γ} A_{ϱ′,γ}^{−1}A_{ϱ′,σ′γ} = ∏_{γ} A_{ϱ′,γ}^{−1} A_{ϱ′,γν}

mit ν = ν(σ). Die rechte Seite ist selbst gleich

∏_{γ} ϱ′(A_{γ,ν}^{−1})A_{ϱ′γ,ν} = ∏_{γ} A_{ϱ′γ,ν},

und ϱ′γ ∈ HG′_{i}.

Da die Kozyklen A_{ϱ′,σ′}^{l} und A_{ϱ,σ} sowieso kohomolog sind, können wir A_{ϱ,σ} so wählen, daß

A_{ϱ,σ} = A′_{ϱ′,σ′}, ϱ′, σ′ ∈ HG′_{i}.

Es gibt im allgemeinen eine Kokette B_{ϱ′}(i), so daß

A_{ϱ′,σ′}^{l}(i) = A_{ϱ,σ}(i)B_{ϱ′}(i)ϱ′(B_{σ′}(i))B_{ϱ′σ′}^{−1}(i).

Shimuravarietäten und gerben 19 Das Produkt B_{ϱ′}(i)D_{ϱ′}^{−1}(i) ist ein Kozyklus auf HG′_{i}. Folglich ist

B_{ϱ′}(i) = D_{ϱ′}(i)F′ϱ′(F′)^{−1}, F′ ∈ C_{L′}.

Weil wir B_{ϱ′}(i), ϱ′ ∈ G′, durch

B_{ϱ′}(i)F′^{−1}ϱ′(F′)

ersetzen können, können wir annehmen, daß

B_{ϱ′}(i) = D_{ϱ′}(i), ϱ′ ∈ HG′_{i}.

Nachdem wir die auftretenden Kozyklen und Koketten sorgfältig und zweckmäßig gewählt haben, werden wir jetzt die erwünschte Verträglichkeit ohne allzu große Mühe nachprüfen können.

Es gilt

∑_{G′|G′_{1}} σν′_{1} = η′ = lη.

Wenn

A_{ϱ′,σ′}(1)A_{ϱ′,σ′}^{−1}(2) = B_{ϱ′}ϱ′(B_{σ′})B_{ϱ′σ′}^{−1},

dann ist der Rand von B_{ϱ′}^{l} gleich dem von B_{ϱ}B_{ϱ′}(1)B_{ϱ′}^{−1}(2). Folglich gilt

B_{ϱ′}^{l} = B_{ϱ}B_{ϱ′}(1)B_{ϱ′}^{−1}(2)F′ϱ(F′)^{−1}, F′ ∈ C_{L′}.

Wir rechnen zunächst C_{ϱ′}(i) aus, wobei wir z.T. das i fallen lassen.

C_{ϱ′}(i) = ∏_{μ′} ∏_{λ} A_{ϱ′,μ′λ}^{−ϱμ′λν′_{i}}

= ∏_{μ′} ∏_{λ}{ϱ′(A_{μ′,λ}^{ϱμ′λν′_{i}})A_{ϱ′,μ′,λ}^{−ϱμ′λν′_{i}}A_{ϱ′,μ′}^{−ϱμ′ν_{i}}}

= ∏_{μ′,λ}{A_{ϱ′μ,λ}^{−ϱμ′λν′_{i}}A_{ϱ′,μ′}^{−ϱμ′ν′_{i}}}.

Wir entwickeln

∏_{μ′,λ′} A_{ϱ′,μ′}^{−ϱμ′ν′_{i}}

als

{∏_{μ} A_{ϱ,μ}^{−ϱμν_{i}}}{∏_{μ′} B_{ϱ′}(i)^{−ϱμ′ν_{i}}ϱ′(B_{μ′}(i))^{−ϱμ′ν_{i}}B_{ϱ′μ′}(i)^{ϱμ′ν_{i}}}

und bemerken, daß

∏_{μ′} B_{ϱ′}(i)^{−ϱμ′ν_{i}} = B_{ϱ′}(i)^{(−1)^{i}η}.

Wir schließen aus diesem Gleichungen, daß E_{ϱ′} das Produkt ist von E_{ϱ}, einem Rand, und den Ausdrücken

(2.i) { ∏_{μ′,λ} A_{ϱ′μ′,λ}^{−ϱμ′ν′_{i}}}{∏_{μ′} ϱ(B_{μ′}(i))^{−ϱμ′ν_{i}}B_{ϱ′μ′}(i)^{ϱμ′ν}}, i = 1, 2.

Diesen Ausdruck multiplizieren wir mit dem Rand

ϱ(∏_{μ′} B_{μ′}(i)^{μ′ν_{i}}) ∏_{μ′} B_{μ′}(i)^{−μ′ν_{i}}

und erhalten

{∏_{μ′,λ} A_{ϱ′μ′,λ}^{−ϱμ′ν′_{i}}}{∏_{μ′} B_{ϱ′μ′}(i)^{ϱμ′ν_{i}}B_{μ′}(i)^{−μ′ν_{i}}}.

Es sei ϱ′μ′ = μ′_{1}ϱ′_{μ′_{1}}, ϱ′_{μ′_{1}} ∈ HG′_{i}. Es gelten
B_{ϱ′μ′}(i)B_{μ′_{1}}(i)^{−1} = A_{μ′_{1},ϱ′_{μ′_{1}}} A_{μ′_{1},ϱ′_{μ′_{1}}}^{−1} μ′_{1}(B_{ϱ′_{μ′_{1}}} (i)) = μ′_{1}(B_{ϱ′_{μ′_{1}}} (i))

und

A_{μ′_{1}ϱ′_{μ′_{1}} ,λ}(i) = μ′_{1}(A_{ϱ′_{μ_{1},λ}}(i)) A_{μ′_{1},ϱ_{μ′_{1}} λ}(i)A_{μ′_{1},ϱ_{μ′_{1}}}^{−1} (i) = μ′_{1}(A_{ϱ_{μ′_{1}} ,λ}(i)).

Infolgedessen ist (2.i) durch

(2.j) { ∏_{μ′,λ} μ′(A_{ϱ′_{μ′,λ}}(i))^{−μ′ν′_{1}}}{∏_{μ′} μ′(B_{ϱ′_{μ′}} (i))^{μ′ν_{1}}}

zu ersetzen. Wir schreiben hier μ′ statt μ′_{1}, um die Bezeichnung zu entlasten. Das Element ϱ′_{μ′} liegt in HG′_{i}, so daß

B_{ϱ′_{μ′}} (i) = ∏_{γ∈H} A_{ϱ′_{μ′} ,γ}(i)

= ∏_{λ} ∏_{γ∈H_{i}} A′_{ϱ′_{μ′} ,λγ}(i)

= ∏_{λ} ∏_{γ} A_{ϱ′_{μ′} ,λ,γ}(i)A_{ϱ′_{μ′} ,λ}(i).

Da [H_{i} : 1] = l_{i} und ν′_{i} = l_{i}ν_{i}, folgern wir hieraus, daß (2.j) gleich ist

(2.k) ∏_{μ′,λ,γ} μ′(A_{ϱ′_{μ′} λ,γ})^{μ′ν_{i}}, das in ∏_{w′|v_{i}} T (L′_{w′}) liegt. Es ergibt sofort die Gleichung

(2.l) t_{ϱ′,σ′} = t_{ϱ,σ}, ϱ′, σ′ ∈ Gal(L′/F), denn t_{ϱ,σ}^{−1}t_{ϱ′,σ′} ist einerseits in T (L′) erhalten und andererseits in

∏_{w′|v_{1}} T (L′_{w′}) ∏_{w′|v_{2}} T (L′_{w′}).

Es ist auch klar, daß die lokalen Homomorphismen außerhalb v_{1} un v_{2} äquivalent sind. Wir wollen auch zeigen, daß z.B.

𝒟^{L′_{w′_{1}}} ⟶ 𝒯′_{ν′_{1},ν′_{2}}
↓ ↓
𝒟^{L_{v′_{1}}} ⟶ 𝒯_{ν_{1},ν_{2}}.

kommutativ ist. Rechts steht der aus (2.e) hervorgehende Isomorphismus. Auf dem Kern von 𝒟^{L′_{v′_{1}}} ist die Kommutativität allerdings klar. Was sonst in Betracht kommt, ist die Projektion von (2.k) auf T (L′_{w′_{1}}), nähmlich

∏_{γ∈H_{1}} A_{ϱ′,γ}^{ν_{1}}(1) = G_{ϱ′}^{ν_{1}}.

Daher genügt es, folgende Gleichung zu zeigen:

A′_{ϱ′,σ′}(1) = A_{ϱ′,σ′}^{l_{1}}(1)G_{ϱ′}^{−1}ϱ′(G_{σ′})^{−1}G_{ϱ′,σ′}, ϱ′, σ′ ∈ G′_{1},

wobei beide Ausdrücke in der Gruppe L′_{w′_{1}}^{×} enthalten sind.

Wir haben schon gesehen, daß

\begin{aligned}A′_{ϱ′,σ′}(1) & = ∏_{γ∈H} A_{ϱ′,γ}^{−1}(1)A_{ϱ′,σ′γ}(1) \\ & = ∏_{γ} A_{ϱ′,γ}^{−1}(1)A_{ϱ′,γν}(1), \end{aligned}

wobei ν der Repräsentant von σ′ im Rechtsrepräsentantensystem ist. Wir haben auch gesehen, daß rechts stehende Produkt gleich ∏_{γ} A_{ϱ′,γ,ν}(1) ist. Wir interessieren uns für dieses Produkt als ein Element aus L′_{w′_{1}}, so daß wir es auf die entsprechende Koordinate projizieren und

∏_{γ∈H_{1}} A_{ϱ′γ,ν}(1)

bekommen. Dieses Produkt ist wiederum gleich

∏_{γ∈H_{1}} A_{ϱ′,σ′}^{−1}(1)A_{ϱ′,σ′γ}(1) = A_{ϱ′,σ′}^{l_{1}}(1)G_{ϱ′}^{−1}ϱ′(G_{σ′}^{−1})G_{ϱ′σ′}.

Die Konstruktion von 𝒯_{ν_{1},ν_{2}} ist offensichtlich funktoriell in T, ν_{1}, ν_{2}. Wenn wir nämlich einen über F definierten Homomorphismus ϕ : T → T′ und ν′_{i} = ϕ(ν_{i}), i = 1, 2 haben, dann bekommen wir ohne weiteres einen Homomorphismus ϕ von 𝒯_{ν_{1},ν_{2}} nach 𝒯_{ν′_{1},ν′_{2}}.

Wir formulieren einige der erhaltenen Resultate in einem Satz. Satz 2.2. Es sei T ein über F definierter Torus, der über der Galoiserweiterung L von F zerfällt. Es seien v_{1} und v_{2} zwei Stellen von F und v′_{1} und v′_{2} gewählte Erweiterungen auf L. Es seien zwei Kocharaktere ν_{1} und ν_{2} aus X_{∗}(T) gegeben, die die Bedingungen (2.a) und (2.b) erfüllen. Dann definiert die obige Konstruktion eine Gerbe 𝒯 = 𝒯_{ν_{1},ν_{2}} über F mit Kern T, die ausgestattet ist mit Homomorphismen

\begin{matrix}ζ_{v} : Gal_{F_{v}} → 𝒯 & v ≠ v_{1}, v_{2}, \\ ζ_{v_{i}} : 𝒟^{L_{v′_{i}}} → 𝒯 & i = 1, 2, \end{matrix}

so daß ζ_{v_{i}} auf dem Kern durch x → x^{v_{i}} gegeben ist. Diese Gerbe ist eindeutig bestimmt bis auf einen Isomorphismus, der die lokalen Homomorphismen in äquivalente überführt. Falls L′ ⫆ L eine größere Galoiserweiterung ist, auf die die Stellen v′_{i} in w′_{i} erweitert sind, so ergibt die obige Konstruktion einen Isomorphismus

𝒯′_{ν_{1},ν_{2}} ⟶^{∼} 𝒯_{ν_{1},ν_{2}},

wobei

ν′_{i} = [L′_{w′_{i}} : L_{v′_{i}}] · ν_{i} i = 1, 2,

so daß die folgenden beiden Diagramme bis auf Äquivalenz kommutativ sind:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{Gal^{F_{v}}}  ^{ζ′_{v}}^{ζ_{v}}  𝒯′^{ν_{1},ν_{2}}^{𝒯′^{ν_{1′} ,ν′_{2}}} ≀  v ≠ v_{1}, v_{2}
𝒟^{L′_{w′_{i}}} ⟶ 𝒯′_{ν′_{1},ν′_{2}}
↓ ↓^{≀}
𝒟^{L_{v′_{i}}} ⟶ 𝒯_{ν_{1},ν_{2}}.

Die Konstruktion ist funktoriell in T, ν_{1}, ν_{2}.

Eine Möglichkeit, die obige Situation zu erhalten, ist, daß ν_{1} und ν_{2} durch Mittelung aus ein und demselben Kogewicht entstehen. Es seien also T ein Torus über F und μ ein Element aus X_{∗}(T). Wir setzen

ν_{i} = (−1)^{i+1} ∑_{σ∈Gal(L_{v′_{i}} /F_{v_{i}})} σμ.

Wir werden einen kanonischen Homomorphismus τ_{μ} von der entsprechenden Gerbe 𝒯_{ν_{1},ν_{2}} nach der neutralen Gerbe 𝒢_{T} einführen.

Vorher definieren wir in einer sehr einfachen Weise einen Homomorphismus ξ_{μ} von 𝒟^{L_{v′}} nach 𝒢_{T}. Der Körper L zerfällt T, und v′ ist eine Primstelle von L, die eine Primstelle v von F teilt. Es sei

ν = ∑_{σ∈Gal(L_{v′} /F_{v})} σμ.

ξ_{μ} wird folgendermaßen definiert:

\begin{aligned}ξ_{μ}(z) & = z^{ν},  z ∈ L_{v′}^{×}, \\ ξ_{μ}(d_{ϱ}) & = ∏_{σ∈Gal(L_{v′} /F_{v})} d_{ϱ,σ}^{ϱσμ} ⋊ ϱ, \end{aligned}

wobei d_{ϱ,σ} der 𝒟^{L_{v′}} definierende Kozyklus ist, und d_{ϱ} = d_{ϱ}^{L_{v′}}. Man prüft leicht nach, daß ξ_{μ} in der Tat ein Homomorphismus ist.

Der einzuführende Homomorphismus τ_{μ} hat folgende Eigenschaften:

(i) τ_{μ} ∘ ζ_{v_{1}} ist zu ξ_{μ} äquivalent; (ii) τ_{μ} ∘ ζ_{v_{2}} ist zu ξ_{−μ} äquivalent; (iii) τ_{μ} ∘ ζ_{v} ist die kanonische Neutralisierung von 𝒢_{T}. Es wird τ_{μ} durch

τ_{μ} : t_{ϱ} → s_{ϱ} ⋊ ϱ

definiert, wobei s_{ϱ} ∈ T (L) und

s_{ϱ}ϱ(s_{σ})s_{ϱσ}^{−1} = t_{ϱσ}.

Es existiert ferner f ∈ T (A_{L}), so daß

fe_{ϱ}s_{ϱ}ϱ(f^{−1}) = e′_{ϱ}

folgende Eigenschaften besitzt:

(i) die Projektion von e′_{ϱ} auf L_{v′} ist 1, wenn v′ weder v_{1} noch v_{2} teilt;

(ii) die Projektion von e′_{ϱ} auf T (L_{v′_{1}}) ist

∏_{σ∈Gal(L_{v′_{i}} /F_{v_{i}})} A_{ϱ,σ}^{−(−1)^{i}ϱσμ}(i).

Es sei {B_{ϱ}} die in (2.c) auftretende Kokette. Wir setzen

F = ∏_{ϱ∈Gal(L/F)} B_{ϱ}^{−ϱμ},

E_{ϱ}(i) = ∏_{τ∈𝔖_{i}} ∏_{σ∈Gal(L_{v′_{i}} /F_{v_{i}})} A_{ϱ^{τ,σ}}^{−(−1)^{i}ϱτσμ}(i),

so daß

E_{ϱ}(i) ∈ ∏_{v′|v_{i}} T (L_{v′}).

Eine leichte Rechnung ergibt die Gleichung (2.m) E_{ϱ} = E_{ϱ}(1)E_{ϱ}(2)F ϱ(F^{−1}).

Es gilt nähmlich für τ ∈ 𝔖_{i}, σ ∈ Gal(L_{v_{i′} /F_{v_{i}}})
A_{ϱ,τσ}(i) = A_{ϱτ,σ}(i)A_{ϱ,τ} (i),

so daß C_{ϱ}(i) das Produkt von

∏_{σ∈Gal(L/F)} A_{ϱ,σ}^{(−1)^{i}ϱσμ}(i)

und

∏_{τ∈𝔖_{i}} ∏_{σ∈Gal(L_{v′_{i}} /F_{v′_{1}} )} A_{ϱτ,σ}^{−(−1)^{i}ϱτσμ} = E_{ϱ}(i)

ist. Folglich ist

E_{ϱ} = {∏_{σ} A_{ϱ,σ}^{−ϱσμ}(1)A_{ϱ,σ}^{ϱσμ}(2)}{B_{ϱ}^{η}E_{ϱ}(1)E_{ϱ}(2)}

= {∏_{σ}(B_{ϱ}ϱ(B_{σ})B_{ϱσ}^{−1})^{−ϱσμ}}{B_{ϱ}^{η}E_{ϱ}(1)E_{ϱ}(2)}

= F^{−1}ϱ(F)E_{ϱ}(1)E_{ϱ}(2).

Die Elemente E_{ϱ}(i) sind schon nach T (A_{L}) geliftet. Wir liften F in ein Element f und bekommen

s_{ϱ}e_{ϱ}fϱ(f^{−1}) = E_{ϱ}(1)E_{ϱ}(2)

mit s_{ϱ} ∈ T (L). Es gilt also

e′_{ϱ} = E_{ϱ}(1)E_{ϱ}(2),

so daß e′_{ϱ} offensichtlich die erwünschten Eigenschaften besitzt.

Es muß nochmals nachgeprüft werden, ob s_{ϱ} bis auf einen Rand von den in ihrer Konstruktion getroffenen Wählakten unabhängig ist. Diese werden wieder als (i) bis (v) aufgezählt. Die unter (v) erwähnte Möglichkeit bedarf besonderer Beachtung.

(i) Wenn wir eine Liftung e′′_{ϱ} = r_{ϱ}e_{ϱ}, r_{ϱ} ∈ T (L) nehmen, dann wird t_{ϱ,σ} in t′′_{ϱ,σ} = r_{ϱ}^{−1}ϱ(r_{σ}^{−1})r_{ϱσ}t_{ϱ,σ} abgeändert, und der Isomorphismus zwischen den zwei so zustande gekommenen Gerben durch

t′′_{ϱ} → r_{ϱ}^{−1}t_{ϱ}

definiert. Da s_{ϱ} durch r_{ϱ}^{−1}s_{ϱ} ersetzt wird, geht t′′_{ϱ} nach r_{ϱ}^{−1}s_{ϱ} ⋊ ϱ in der neutralen Gerbe 𝒢_{T}, das auch das Bild von r_{ϱ}^{−1}t_{ϱ} ist.

(ii) Wenn wir B_{ϱ} durch B_{ϱ}Gϱ(G^{−1}) ersetzen, wird F mit

∏_{ϱ} G^{−ϱμ}ϱ(G)^{ϱμ}

multipliziert. Wenn wir G in g liften, können wir

f′ = f ∏_{ϱ} g^{−ϱμ}ϱ(g)^{ϱμ}

statt f wählen, und

f′ϱ(f′)^{−1} = fϱ(f^{−1})g^{−η}ϱ(g^{η}).

Wir hatten schon gesehen, daß e_{ϱ} durch e_{ϱ}g^{η}ϱ(g^{−η}) ersetzt wird. Somit bleibt {s_{ϱ}} erhalten.

(iii) Eine ähnliche Rechnung zeigt die Kompatibilität unter Abänderung der Repräsentanten ω_{τ} , τ ∈ 𝔖_{i}. Wenn wir das Repräsentantensystem 𝔖_{i} selbst abändern, dann wird B_{ϱ} mit einem Element aus ∏_{v′|v_{i}} L_{v′}^{×} multipliziert. Folglich werden weder t_{ϱ,σ} noch s_{ϱ} geändert.

(iv) Eine Abänderung der Einbettung W_{L_{v′_{1}} /F_{v_{1}}} → W_{L/F} ändert die Kozyklen nicht und folglich auch nicht {s_{ϱ}}. Eine Abänderung von ω_{ϱ}, ϱ ∈ Gal(L_{v′_{1}}/F_{v_{1}}) multipliziert B_{ϱ} mit einem Element aus ∏_{v′|v_{1}} T (L_{v′}) und verursacht keine Änderung von {s_{ϱ}}.

(v) Wenn wir v′_{1} abändern und durch v′′_{1} ersetzen,

|λx|_{v′′_{i}} = |x|_{v′_{1}},

dann ist

∑_{σ∈Gal(L_{v{′′ \atop 1}} /F_{v_{1}} )} σμ = λ ∑_{σ∈Gal(L_{v′_{1}} /F_{v_{1}} )} σλ^{−1}μ

und wird im allgemeinen nur dann gleich λν_{1} sein, wenn λ so gewählt werden kann, daß λ^{−1}μ = μ. Deshalb setzen wir diese Bedingung voraus. Es ist aber sogar in diesem Fall nicht so, daß τ_{μ} unabhängig von v′′_{1} ist. Es seien nämlich Ã_{ϱ,σ} Liftungen von A_{ϱ,σ} und C_{ϱ,σ,τ} der durch

ϱ(Ã_{σ,t})Ã_{ϱσ,τ}^{−1} Ã_{ϱ,στ} Ã_{ϱ,σ}^{−1} = C_{ϱ,σ,τ}

definierte Teichmüllerkozyklus. Dann ist

r_{ϱ} = ∏_{σ∈Gal(L/Q)} C_{ϱ,σ,λ}^{−ϱσμ}

ein 1-Kozyklus von Gal(L/Q) mit Werten aus T (L) und τ_{μ} wird durch τ′_{μ} : t_{ϱ} → r_{ϱ}τ_{μ}(t_{ϱ}) ersetzt, wenn v′_{1} durch v′′_{1} ersetz wird.

E_{ϱ} wird nämlich mit dem Ausdruck (2.e) multipliziert, der gleich ist

ϱ(Y)Y^{−1}ϱ(Z_{1})Z_{ϱ}^{−1}.

Andererseits wird F mit

U = ∏_{σ∈Gal(L/F)} D_{σ}^{−σμ}

multipliziert. Nach den Definitionen ist

U = ∏_{σ} λ(A_{λ^{−1},σλ})^{σμ}A_{σ,λ}^{σμ}A_{λ,λ^{−1}}^{−σμ}

und

Y = ∏_{τ∈𝔖_{1}} A_{λ,λ^{−1}}^{−τν_{1}} ∏_{τ∈𝔖_{1}} λ(A_{λ^{−1},τ})^{τν_{1}}.

Folglich gilt

UY^{−1} = ∏_{σ} (λ(A_{λ^{−1},σλ})^{σμ}A_{σ,λ}^{σμ}) ∏_{τ} λ(A_{λ^{−1},τ})^{τν_{1}}.

Wegen der Kozykeleigenschaft ist das erste Produkt auf der rechten Seite gleich

∏_{σ} λ(A_{λ^{−1}σ,λ}A_{λ^{−1},σ})^{σμ} = ∏_{σ} A_{σ,λ}^{σμ} ∏_{σ} λ(A_{λ^{−1},σ})^{σμ}.

Wenn σ in τ Gal (L_{v′_{i}}/F_{v_{1}}) liegt, ist

λ(A_{λ^{−1},σ}) ≡ λ(A_{λ^{−1},t}) (mod τ(L_{v′_{1}})).

Wir können daher UY^{−1} in das Produkt von ∏_{σ} Ã_{σ,λ}^{σμ} und einem Element aus ∏_{v′|v_{1}} T (L_{v′}) liften. Es gilt ferner

∏ Ã_{σ,λ}^{σμ} ∏_{σ} ϱ(Ã_{σ,λ})^{−ϱσμ} = ∏_{σ} C_{ϱ,σ,λ}^{−ϱσμ} = r_{ϱ},

denn

∏_{σ} Ã_{ϱ,σλ}^{ϱσμ}A_{ϱ,σ}^{−ϱσμ} = 1.

Somit ist s′_{ϱ} = r_{ϱ}s_{ϱ}.

Wir wollen schließlich zeigen, daß τ_{μ} unabhängig von L ist. Es sei L′ ⫆ L eine Galoiserweiterung von F. Wir werwenden die früheren Formeln wieder. Um dasselbe Symbol nicht mit zwei Bedeutungen zu verwenden, schrieben wir

B_{ϱ′}^{l} = B_{ϱ}B_{ϱ′}(1)B_{ϱ′}^{−1}(2)Gϱ(G)^{−1}.

Aus den früheren Rechnungen ergibt sich, daß E_{ϱ′} das Produkt von E_{ϱ} und zwei anderen Faktoren ist. Einer ist für s_{ϱ′} belanglos, weil er in

∏_{v′|v_{1}} T (L_{v′}) ∏_{v′|v_{2}} T (L_{v′})

liegt. Der andere ist

G^{η}ϱ(G)^{−η} ∏_{i=1}^{2}{∏_{μ′} B_{μ′}(i)^{μ′ν_{i}} ∏_{μ′} ϱ(B_{μ′}(i))^{−ϱμ′ν_{i}}}.

Andererseits ist

F′ = ∏_{ϱ′∈Gal(L′/F)} B_{ϱ′}^{−ϱ′μ}.

Wir zeigen, daß

F′F^{−1}G^{η} ∏_{i=1}^{2} ∏_{μ′} B_{μ′}(i)^{μ′ν_{i}} ≡ V (modulo ∏_{v′|v_{1},v_{2}} T (L_{v′})),

wobei V nicht nur invariant ist, sondern tatsächlich das Bild eines Elements aus T (A_{F}). Somit wird s_{ϱ′} = s_{ϱ}. Wir zeigen in der Tat, daß

W = ( ∏_{γ∈H} B_{γ}^{−1})G

in C_{L} liegt, und

V = ∏_{ϱ∈Gal(L/Q)} ϱ(W)^{ϱμ},

was hinreicht, denn A_{L} → C_{L} ist surjektiv.

Es sei ϱ′ ∈ Gal(L′/F) und es sei μ′_{i} sein Repräsentant modulo HG′_{i}. Es muß gezeigt werden, daß (2.n) ϱ′^{−1}( ∏_{γ∈H} B_{ϱ′γ}^{−1}B_{ϱ}GB_{μ′_{1}}(1)B_{μ′_{2}}^{−1}(2))

kongruent ist zu

(2.o) ∏_{γ∈H} B_{γ}^{−1}G, mit Gleichheit, wenn ϱ′ ∈ H.

Es gilt erstens

\begin{aligned}ϱ′^{−1}( ∏_{γ∈H} B_{ϱ′γ}^{−1}) & = ∏_{γ} B_{σ′} · ∏_{γ} B_{γ}^{−1} · A_{σ′,ϱ′γ}^{−1}(1)A_{σ′,ϱ′γ}(2) \\ & = B_{σ′}^{1} ∏_{γ} (A_{σ′,ϱ′γ}^{−1}(1)A_{σ′,ϱ′γ}(2)) ∏_{γ} B_{γ}^{−1}, \end{aligned}

wobei σ′ = ϱ′^{−1}. Somit ist (2.n) gleich

(2.p) B_{σ′}(1)B_{σ′}^{−1}(2) ∏_{γ} (A_{σ′,ϱ′γ}^{−1}(1)A_{σ′,ϱ′γ}(2))σ′(B_{μ′_{1}}(1)B_{μ′_{2}}^{−1}(2))σ(B_{ϱ})B_{σ} mal (2.o).

Zweitens gilt

σ′(B_{μ′_{i}}(i))B_{σ′}(i) = B_{σ′μ′_{i}}(i)A_{σ′,μ′_{i}}^{l}(i)A_{σ,μ_{i}}^{−1}(i),

und

B_{σ′μ′_{i}}(i) = ∏_{γ∈H} A_{σ′μ′_{i},γ}(i),

da σ′μ′_{i} ∈ HG′_{i}.

Wenn ϱ′ ∈ H, so ist B_{ϱ} = B_{σ} = 1, μ′_{i} = 1, und

∏_{γ} A_{σ′,ϱ′γ}(i) = ∏_{γ} A_{σ′,γ}(i),

was die erwünschte Gleichheit ergibt.

Im allgemeinen, wenn ϱ′ ∈ μ′_{i}Hν_{i} mit ν_{i} aus dem Rechtsrepräsentantensystem von H_{i} in G′_{i}, so gilt

∏_{γ} A_{σ′,ϱ′γ}(i) = ∏_{γ} A_{σ′,μ′_{i}γν_{i}}(i)

und

A_{σ′,μ′_{i}γν_{i}}(i)A_{σ′,μ′_{i}γ}^{−1}(i) = σ′(A_{μ′_{i}γ,ν_{i}}(i)^{−1})A_{σ′μ′_{i}γ,ν_{i}}(i) ∈ σ′μ′_{i}γ(L′_{w′_{i}}).

Ferner ist

A_{σ′,μ′_{i}γ}^{−1}(i)A_{σ′μ′_{i},γ}(i)A_{σ′,μ′_{i}}(i) = σ′A_{μ′_{i},γ}(i) = 1.

Somit ist (2.p) gleich

σ(B_{ϱ})B_{σ}A_{σ,μ_{1}}^{−1}(1)A_{σ,μ_{2}}(2).

Aber

A_{σ,μ_{i}}(i) ≡ A_{σ,ϱ}(i) (mod L′_{w′_{i}}),

und

σ(B_{ϱ})B_{σ}A_{σ,ϱ}^{−1}(1)A_{σ,ϱ}(2) = 1,

da ϱσ = 1.

Wir formulieren wieder das Wesentliche in einem Satz. Satz 2.3. In der Situation von Satz 2.2 sei μ ein Element aus X_{∗}(T), das die Kocharaktere ν_{i} durch Mittelung ergibt

ν_{i} = (−1)^{i+1} ∑_{σ∈Gal(L_{v′_{1}} /F_{v_{i}})} σμ.

Dann liefert die obige Konstruktion einen Homomorphismus τ_{μ} von der Gerbe 𝒯_{ν_{1},ν_{2}} in die neutrale Gerbe 𝒢_{T}, so daß τ_{μ} ∘ ζ_{v} für v ≠ v_{1}, v_{2} zur kanonischen Neutralisierung äquivalent ist und so daß τ_{μ} ∘ ζ_{v_{1}} zu ξ_{μ} äquivalent ist und τ_{μ} ∘ ζ_{v_{2}} zu ξ_{−μ} (die Definition von ξ_{μ} erscheint nach Satz 2.2). Der Homomorphismus τ_{μ} ist eindeutig bestimmt bis auf die Komposition mit einem Automorphismus von 𝒢_{T}, der in allen Stellen äquivalent zum identischen Automorphismus ist. Die Konstruktion ist funktoriell in T, μ.

§3. DIE PSEUDOMOTIVISCHE GALOISGRUPPE

In diesem Abschnitt führen wir zwei Gerben ein, nicht nur die eigentlich wichtige, die wir die pseudomotivische Galoisgruppe nennen, sondern auch eine untergeordnete, die nur da ist, um die Vermutung im fünften Abschnitt für die allgemeinste Shimuravarietät formulieren zu können.

Die pseudomotivische Galoisgruppe 𝒫 ist als direkter Limes definiert. Es sei L eine endliche Galoiserweiterung von Q im Körper Q̄ der algebraischen Zahlen in C und m sei eine natürliche Zahl. Wir definieren zunächst eine Gerbe 𝒫(L, m), deren Kern ein Torus P (L, m) ist, den wir definieren, indem wir den Galoismodul seiner Charaktere vorschreiben. Es sei q = p^{m}, wobei p die ein für allemal fixierte rationale Primzahl ist. Definition 3.1. Die Gruppe X(L, m) der zu L und m zugeordneten Weilzahlen besteht aus denjenigen π aus L mit folgenden Eigenschaften.

(a) Es gibt eine ganze Zahl v_{1} = v_{1}(π), so daß für alle archimedischen Primstellen v von L gilt

| ∏_{σ∈Gal(L_{v}/R)} σπ| = q^{v_{1}}.

(b) Für jede Primstelle v ∈ L über p gibt es ein v_{2}(v) = v_{2}(π, v) ∈ Z mit

|π|_{v} = | ∏_{σ∈Gal(L_{v}/Q_{p})} σπ|_{p} = q^{v_{2}(v)}.

(c) In allen endlichen Stellen außerhalb p ist π eine Einheit.

Aus dem Dirichletschen Einheitensatz folgt, daß X(L, m) endlich erzeugt ist. Aus X(L, m) dividieren wir die endliche Gruppe der darin enthaltenen Einheitswurzeln aus, um einen torsionsfreien Modul X^{∗}(L, m) zu erhalten. Den entsprechenden Torus bezeichnen wir mit P (L, m). Der Modul X^{∗}(L, m) ist offensichtlich ein Gal(Q̄/Q)-Modul. Folglich ist P (L, m) über Q definiert.

Notfalls, um Mißverständnissen vorzubeugen, schreiben wir χ_{π} für den Charakter von P (L, m), der der Weilzahl π ∈ X(L, m) entspricht. Wir fixieren ein für allemal eine Einbettung Q̄ → Q̄_{p} und folglich eine Primstelle v_{2} von jedem in Q̄ enthaltenen endlichen algebraischen Zahlkörper L. Es sei v_{1} die durch L ⫅ Q̄ ⫅ C gegebene archimedische Stelle von L. Wir definieren folgendermaßen die Kogewichte ν_{1}, ν_{2} aus X_{∗}(L, m) = X_{∗}(P (L, m)):

(3.a) ⟨ν_{1}, χ_{π}⟩ = ν_{1}(π),

(3.b) ⟨ν_{2}, χ_{π}⟩ = ν_{2}(π, v_{2}).

Die Relation (2.a) ist offensichtlich, während (2.b) aus der Produktformel folgt. Dabei sollte bemerkt werden, daß dieses ν_{1} sogar unter der vollen Gruppe Gal(Q̄/Q) invariant ist.

Folgende Funktorialitäten sind vorhanden:

(3.c) Wenn L ⊂ L′, ϕ^{∗}, ϕ_{L,L′}^{∗} : X^{∗}(L, m) → X^{∗}(L′, m) schickt π nach sich selbst. (3.d) Wenn m|m′, ϕ^{∗} = ϕ_{m,m′}^{∗} : X^{∗}(L, m) → X^{∗}(L, m′) schickt π nach π^{m′/m}. Die kontragredienten Abbildungen sind Homomorphismen der über Q definierten Tori

P (L′, m) und P (L, m′) nach P (L, m).

Lemma 3.2. (a) Es gilt

ϕ_{m,m′}(ν′_{i}) = ν_{i}.

(b) Es gilt

ϕ_{L,L′}(ν′_{i}) = [L′_{v′_{i}} : L_{v_{i}}]ν_{i}.

Dabei sind v′_{i} die durch L′ ⫅ Q̄ ⫅ C und L′ ⫅ Q̄ ⫅ Q̄_{p} definierten Primstellen von L′.

Wenn m durch m′ ersetzt wird, wird q durch q^{m′/m} ersetzt. Daraus folgt die erste Behauptung sofort. Die zweite folgt aus der Gleichung

∏_{σ∈Gal(L′_{v′_{i}} /Q_{p})} σπ = ( ∏_{σ∈Gal(L_{v_{i}} /Q_{p})} σπ)^{[L′_{v′_{i}}:L_{v_{i}}]},

die für π ∈ L gilt.

Das Verfahren des vorigen Abschnitts ordnet dem Tripel P (L, m), ν_{1}, ν_{2} und dem Körper L eine Gerbe 𝒫(L, m) zu. Aus Lemma 3.2(a) folgt, daß es einen kanonischen Homomorphismus ϕ = ϕ_{m,m′} : 𝒫(L, m′) → 𝒫(L, m) gibt. Im vorigen Abschnitt worde gezeigt, daß die mittels P (L, m), ν_{1}, ν_{2} und L definierte Gerbe der mittels P (L, m), [L′_{v_{1}} : L_{v_{1}}]ν_{1}, [L′_{v′_{2}} : L_{v_{2}}]ν_{2} und L′ definierten isomorph ist. Infolgedessen gibt es auch einen kanonischen Homomorphismus ϕ = ϕ_{L,L} : 𝒫(L′, m) → 𝒫(L, m).

Als Vorbereitung auf den nächsten Abschnitt, in dem wir einen kanonischen Isomorphismus zwischen der pseudomotivischen Galoisgruppe

𝒫 = lim_{\overleftarrow{L,m}} 𝒫(L, m)

und der echten motivischen Galoisgruppe aus den Standardvermutungen und der Tatevermutung ableiten, müssen wir einige kohomologische Eigenschaften des inversen Systems der P (L, m) zeigen. Vorher führen wir eine zweite etwas künstliche Gerbe ein, die wir mangels Erfindungsgabe die quasimotivische Galoisgruppe nennen. Sie wird mittels der quasi-Weilzahlen definiert. Definition 3.3. Die Gruppe Y (L, m) der L und m zugeordneten quasi-Weilzahlen besteht aus denjenigen π aus L mit folgenden Eigenschaften.

(a) Es gibt eine ganze Zahl ν_{1} = ν_{1}(π), so daß für alle archimedischen Primstellen v von L gilt

| ∏_{σ∈Gal(L/Q)} σπ|^{[L_{v}:R]} = q^{ν_{1}[L:Q]}.

(b) Für jede Primstelle v ∈ L über p gibt es ein ν_{2}(v) = ν_{2}(π, v) ∈ Z mit

|π|_{v} = | ∏_{σ∈Gal(L_{v}/Q_{p})} σπ|_{p} = q^{ν_{2}(v)}.

(c) In allen endlichen Primstellen außerhalb p ist π eine Einheit.

Wie die X(L, m) bilden auch die Y (L, m) ein inverses System. Um Y^{∗}(L, m) zu bekommen, dividiert man Y (L, m) nach der i.a. unendlichen Gruppe aller Einheite aus, nicht nur der Einheitswurzeln. Wir erhalten ein inverses System von Gerben 𝒬(L, m), dessen Limes 𝒬 wir die quasimotivische Galoisgruppe nennen.

Die Gruppe P (L, m) enthält eine Reihe {δ_{n}}, m|n, n genügend hoch, von ausgezeichneten rationalen Punkten, die durch die Gleichungen

χ_{π}(δ_{n}) = π^{\frac{n}{m}}

definiert werden. Dabei muß \frac{n}{m} durch die Ordnung der Torsion von X(L, m) teilbar sein. Die Rationalität von δ_{n} folgt aus

σ(χ_{π}(δ_{n})) = (σπ)^{\frac{n}{m}} = χ_{σπ}(δ_{n}).

Die Gleichungen

ϕ_{m,m′}(δ_{n}) = δ_{n}, ϕ_{L,L′}(δ_{n}) = δ_{n}

prüfen sich leicht nach. In Q(L, m), dem Kern von 𝒬(L, m), gibt es kein eindeutig bestimmtes δ. Wir können etliche definieren, und die fehlende Eindeutigkeit werden wir meistens übersehen. Wenn k genügend hoch ist, dann gibt es ein kommutatives Diagramm von Gal(L/Q)-Moduln

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} k.Y^{∗}(L,m)  Y (L,m) Y^{∗}(L,m) η

Wir definieren δ_{n} durch die Gleichungen

χ_{π}(δ_{n}) = η(π^{k})^{\frac{n}{mk}} .

Es ist also für jedes π die Zahl π^{−n}χ_{π}(δ_{n}) eine Einheit.

Es seien T ein Torus über Q und μ ∈ X_{∗}(T). Wenn T über L zerfällt, und wenn m genügend hoch ist, ordnen wir dem Paar (T, μ) einen über Q definierten Homomorphismus ψ_{μ} : Q(L, m) → T zu. Falls

(3.e) (σ − 1)(ι + 1)μ = (ι + 1)(σ − 1)μ = 0, wird ψ_{μ} durch P (L, m) faktorisiert werden können, und ist als ein Homomorphismus von P (L, m) nach T zu betrachten. Dabei ist zu bemerken, dass die einbettung

X(L, m) ⫅ Y (L, m)

einen Homomorphismus Q(L, m) → P (L, m) definiert.

Der Homomorphismus ψ_{μ} wird durch einen Homomorphismus von Galoismoduln X^{∗}(T) → Y^{∗}(L, m) definiert werden, und zwar durch X^{∗}(T) → Y (L, m), λ → π_{λ}, wobei gelten muß

π_{σλ} = σ(π_{λ}).

Wenn die Gleichungen (3.e) gelten, wird auch gelten

σ(ι(π_{λ}) · π_{λ}) = π_{σιλ+σλ} = π_{(ι+1)σλ} = π_{(ι+1)λ} = ι(π_{λ}) · π_{λ}

und

ι(π_{λ})π_{λ} = π_{ιλ+λ} = π_{ι′λ+λ} = ι′(π_{λ})π_{λ}, ι′ = σισ^{−1}.

Damit ist ι(π_{λ})π_{λ} eine rationale Zahl, und π_{λ} ∈ X(L, m).

Um λ → π_{λ} zu definieren, wählen wir ein zweckmäßiges γ ∈ T (Q) und setzen

π_{λ} = λ(γ).

Für die Gruppe 𝒫 ist dann ψ_{μ}(δ_{m}) = γ. Für die Gruppe 𝒬 ist λ(γ^{−1}ψ_{μ}(δ_{m})) eine Einheit für jedes λ. Wir werden also γ durch ψ_{μ}(δ_{m}) ersetzen können und annehemen, dass ψ_{μ}(δ_{m}) = γ.

Von ψ_{μ} werden die Bedingungen

ψ_{μ}(ν_{i}) = −(−1)^{i} ∑_{Gal(L_{v_{i}} /Q_{v_{i}})} σμ

verlangt, was auf γ übertragen bedeutet, daß

| ∏_{σ∈Gal(L_{v_{i}} /Q_{v′_{i}})} σλ(γ)| = q^{−(−1)^{i}⟨λ,Σ_{σ∈Gal(Lv_{i} /Q_{v′_{i}})}σμ⟩}.

Schließlich ist λ(γ) eine Einheit außerhalb des Unendlichen und p.

Wir wählen m so groß, daß es eine Zahl a aus L gibt derart, daß das Ideal (a) eine Potenz p^{r} des der Stelle v_{2} entsprechenden Primideals 𝔭 ist, und daß

|Nm_{L_{v_{2}} /Q_{v_{2}}} a|_{p} = q.

Das Element γ wird durch die Gleichungen

λ(γ) = ∏_{σ∈Gal(L/Q)} σ(a)^{⟨λ,σμ⟩}

definiert. Dann ist γ rational und

| ∏_{σ∈Gal(L_{v_{2}} /Q_{v_{2}} )} σλ(γ)|_{p} = | ∏_{ϱ∈Gal(L_{v_{2}} /Q_{v_{2}} )} ∏_{σ∈Gal(L/Q)} ϱσ(a)^{⟨λ,σμ⟩}|_{p}

= | ∏_{ϱ,σ∈Gal(L_{v_{2}} /Q_{v_{2}} )} ϱσ(a)^{⟨λ,σμ⟩}|_{p}

= q^{⟨λ,∑_{σ} σμ⟩}.

Dem vorigen Abschnitt zufolge läßt sich ψ_{μ} kanonisch in einen Homomorphismus von Gerben ψ_{μ} : 𝒬(L, m) → 𝒢_{T} oder ψ_{μ} : 𝒫(L, m) → 𝒢_{T} erweitern.

Von jetzt ab in diesem Abschnitt widmen wir uns ausschließlich den Gerben 𝒫(L, m) und fangen mit einer einfachen Bemerkung an.

Lemma 3.4. Es sei K der maximale CM-Unterkörper von L. Dann ist X(L, m) = X(K, m).

Wir erinnern uns daran, daß die Galoiserweiterung K ein CM-Körper ist, falls die komplexe Konjugation ι im Zentrum von Gal(K/F) liegt. Wir müssen also zeigen, dass

ι(π) = ι′(π),

wenn π ∈ X(L, m), und ι′ = σισ^{−1}, σ ∈ Gal(L/F). Wenn L ein reeller Körper ist, ist das klar. Sonst gilt

ι(π)π = q^{ν_{1}(π)} = ι′(π)π,

und folglich ι′(π) = ι(π).

Wir nehmen also im folgenden ohne Beschränkung der Allgemeinheit immer an, daß L ein CM-Körper ist. Es sei L_{0} sein total reeller Unterkörper.

Lemma 3.5. H^{2}(Q, P (L, m)) erfüllt das Hasseprinzip.

Offenbar genügt es zu zeigen, daß der Homomorphismus

H^{1}(Gal(L′/Q), P (_{L′})) → H^{1}(Gal(L′/Q), X_{∗} ⊗ C_{L′})

surjektiv ist, wenn P = P (L, m) und L ⫅ L′. Also mit Tate-Nakayama müssen wir die Surjektivität von

⨁_{v∈Q}H^{−1}(Gal(L′_{v}/Q_{v}), X_{∗}) → H^{−1}(Gal(L′/Q), X_{∗})

einsehen.

Es gibt eine exakte Sequenz von Galoismoduln

1 → X′_{∗} → X_{∗} → Z → 1,

wobei ι als −1 auf X′_{∗} wirkt. Ein Element aus H^{−1}(Gal(L′/Q), X_{∗}) wird durch λ ∈ X_{∗} dargestellt mit

∑_{σ∈Gal(L′/Q)} σλ = 0.

Folglich liegt λ in X′_{∗}, und

∑_{σ∈Gal(L′_{v_{1}} /R)} σλ = 0,

so daß λ ein Element aus H^{−1}(Gal(L′_{v_{1}}/R), X_{∗}) darstellt. Somit ist das Lemma bewiesen.

Es gibt noch weitere kohomologische Eigenschaften der Gruppen P (L, m) zu behandeln. Vorher machen wir einige Bemerkungen über die Moduln X_{∗}(L, m). Die Serregruppe ^{L}S ist ein Torus über Q, der durch seinen Gewichtmodul X^{∗}(^{L}S) definiert wird:

X^{∗}(^{L}S) = {λ = ∑_{ϱ:L→Q^{}}¯ n_{ϱ}[ϱ]|n_{ϱ} + n_{ιϱ} ≡ k(λ), k(λ) ∈ Z}.

Die Gruppe ^{L}S ist mit einem ausgezeichneten Kogewicht μ ausgestattet,

μ : ∑ n_{ϱ}[ϱ] → n_{1},

wobei 1 die vorgegebene Einbettung L → Q̄ bezeichnet. Das Kogewicht μ definiert ψ_{μ} : P (L, m) → ^{L}S und ψ_{μ}^{∗} : X^{∗}(^{L}S) → X^{∗}(L, m).

Lemma 3.6. Für genügend hohes m ist der Homomorphismus ψ_{μ}^{∗} surjektiv und folglich P (L, m) → ^{L}S injektiv.

Jedem ϱ ∈ Gal(L/Q) ist eine p teilende Primstelle v_{ϱ} zugeordnet

|x|_{v_{ϱ}} = |ϱ^{−1}x|_{v_{2}}.

Wenn σ ∈ Gal(L_{v_{2}}/Q_{v_{2}}), ist v_{ϱσ} = v_{ϱ}. Der Modul X_{∗}(L, m) enthält die ausgezeichneten Elemente ν_{∞} = ν_{1} und ν_{ϱ} = −ϱν_{2}. Es gelten die Relationen

ν_{ϱσ} = ν_{ϱ}, σ ∈ Gal(L_{v_{2}}/Q_{v_{2}})

und

ν_{ϱ} + ν_{ιϱ} = ν_{∞}k, k = 2[L_{v_{2}} : Q_{p}][L : L_{0}]^{−1}.

Die erste Relation ist klar. Die zweite folgt aus

q^{ν_{ϱ}(π)+ν_{ιϱ}(π)} = | ∏_{σ∈Gal(L_{vϱ} /Q_{p})} ϱ^{−1}σ(πι(π))|_{p} = |πι(π)|_{p}^{[L_{v_{2}} :Q_{p}]}.

Lemma 3.7. (a) Wenn die p teilenden Primstellen von L_{0} in L nicht zerfallen, und es zerfallen entweder keine oder alle, dann gilt

ν_{ϱ} = \frac{k}{2} ν_{∞}

und für genügend hohes m ist {ν_{∞}} eine Z-Basis von X_{∗}(L, m).

b) Wenn die Primstellen von L_{0} in L zerfallen, sei ϱ_{1}, …, ϱ_{r} eine Repräsentantensystem für die Doppelklassen Gal(L_{v_{1}}/R)\Gal(L/Q)/Gal(L_{v_{2}}/Q_{p}). Dann ist für genügend hohes m die Menge {ν_{∞}, ν_{ϱ_{1}}, …, ν_{ϱ_{r}}} eine Z-Basis von X_{∗}(L, m).

Im Fall (a) ist ν_{ϱ} = ν_{ιϱ} und die gegebene Relation klar. In beiden Fällen ist es klar, daß die Elemente, die eine Basis bilden sollen, einen Untermodul von endlichem Index erzeugen, denn aus

ν_{∞}(π) = ν_{ϱ}(π) = 0

für jedes ϱ, schließen wir, daß π eine Einheitswurzel ist. Wir müssen nur zeigen, daß im Fall (a) ν_{∞} und im Fall (b) ν_{∞} und ν_{ϱ_{1}}, ⋯, ν_{ϱ_{r}} willkürlich vorgeschrieben werden können. Diese Aussage werden wir gleichzeitig mit Lemma 3.6 beweisen.

Die Abbildung X^{∗}(^{L}S) → X^{∗}(L, m) ist zu der Abbildung ψ_{μ} : X_{∗}(L, m) → X_{∗}(^{L}S) dual, und diese ist durch

ψ_{μ}(ν_{∞}) = μ + ιμ, L_{0} ≠ L, ψ_{μ}(ν_{∞}) = μ, L_{0} = L,

und

ψ_{μ}(ν_{ϱ_{i}}) = ∑_{σ∈Gal(L_{v_{2}} /Q_{p})} ϱ_{i}σμ

definiert. Folglich

ψ_{μ}(ν_{i})( ∑ a_{ϱ}[ϱ]) = ∑_{σ} a_{ϱ_{i}σ},

ψ_{μ}(ν_{∞})( ∑ a_{ϱ}[ϱ]) = \{ \begin{matrix}a_{1} + a_{ι} & L_{0} ≠ L \\ a_{1} & L_{0} = L. \end{matrix}

Da a_{1} und a_{ι} beliebig sein können, ist es klar, daß wir ein χ im Bild von X^{∗}(^{L}S) mit vorgegebenem ⟨ν_{∞}, χ⟩ finden können. Im Fall (b) können wir a_{ϱ_{1}}, … a_{ϱ_{r}} und a_{ιϱ_{1}} beliebig wählen, und gleichzeitig verlangen, daß a_{ϱ_{i}σ} = a_{ιϱ_{1}σ} = 0, wenn σ ≠ 1, σ ∈ Gal(L_{σ_{2}}/Q_{p}). Somit sind beide Lemmata bewiesen.

Korollar 3.8. Für genügend hohes m und m|m′ ist ϕ_{m,m′} : X_{∗}(L, m′) → X_{∗}(L, m) ein Isomorphismus.

Wir können die Bezeichnungen etwas entlasten, wenn wir statt P (L, m) oder X^{∗}(L, m) die Symbole P (L), mitunter P_{L}, oder X^{∗}(L) verwenden, wobei stillschweigend vorausgesetzt ist, daß m hinreichend hoch ist.

Die nächsten Aussagen betreffen die erste Kohomologiegruppe von P_{L}. Da sie im Fall (a) von Lemma 3.7 trivial sind, können wir uns in den Beweisen auf Fall (b) beschränken. Wir betrachten die exakte Sequenz von Gal(L/Q)-Moduln.

(3.f) 0 → Zν_{∞} → X_{∗}(L) → X_{∗}(N) → 0. Dabei ist N ein Torus, und X_{∗}(N) durch diese Sequenz definiert. Es sei ν̄_{ϱ} das Bild von ν_{ϱ} in X_{∗}(N).

Die Struktur des Galoismoduls X_{∗}(N) ist sofort aus Lemma 3.7 ablesbar. Es sei H = Gal(L_{v_{2}}/Q_{p}) und H_{0} = H ∪ Hι. Wir erhalten eine exakte Sequenz von Gal(L/Q)-Moduln.

(3.g) 0 → Ind_{H_{0}}^{G}1 → Ind_{H}^{G}1 → X_{∗}(N) → 1.

Lemma 3.9. H^{1}(Q, P_{L}) erfüllt das Hasseprinzip.

Nach (3.7) und dem Satz 90 genügt es, das Hasseprinzip für H^{1}(Q, N) zu zeigen. Das folgt aus (3.g), dem Satz 90, dem Shapirolemma und dem Hasseprinzip für H^{2}(H_{0}, K_{0}^{×}), wobei K_{0} den Fixkörper von H_{0} bedeutet.

Lemma 3.10. Es sei L ein vorgegebener CM-Körper. Dann gibt es eine CM-Erweiterung L′ von L, so daß für jede Primstelle v von Q der Transitionshomomorphismus

H^{1}(Q_{v}, P_{L′}) → H^{1}(Q_{v}, P_{L})

Null ist.

Wir verwenden die Tate-Nakayama-Theorie und beweisen, daß

H^{−1}(Gal(L′_{v′}/Q_{v}), X_{∗}(L′)) → H^{−1}(Gal(L_{v}/Q_{v}), X_{∗}(L))

Null ist, wobei v und v′ Erweiterungen von v auf L und L′ bedeuten. Offensichtlich genügt es zu zeigen, daß

H^{−1}(Gal(L_{v′}/Q_{v}), X_{∗}(N′)) → H^{−1}(Gal(L_{v}/Q_{v}), X_{∗}(N))

Null ist, wobei X_{∗}(N′) durch

0 → Zν′_{∞} → X_{∗}(L′) → X_{∗}(N′) → 0

definiert wird. Ein Element aus H^{−1}(Gal(L_{v}/Q_{v}), X_{∗}(N)) wird durch

ν = ∑_{Gal(L/Q)/Gal(L_{v_{2}} /Q_{p})} a_{ϱ}ν̄_{ϱ}, a_{ϱ} ∈ Z,

dargestellt. Es sei s = [L : Q]; dann stellt ν die triviale Klasse dar, wenn s|a_{ϱ} für jedes ϱ.

Ein Element aus H^{−1}(Gal(L′_{v′}/Q_{v}), X_{∗}(N′)) wird gleichermaßen durch

ν′ = ∑_{Gal(L′/Q)/Gal(L′_{v′_{2}} /Q_{p})} a_{ϱ′}ν̄_{ϱ′}

dargestellt, und das Bild ϕ_{L,L′}(ν_{ϱ′}) ist rν_{ϱ}, wenn ϱ das Bild von ϱ′ in Gal(L/Q) ist, und

r = [L′_{v′_{2}} : L_{v_{2}}].

Es geht also darum, L′ so zu wählen, daß s|r. Das können wir erreichen, indem wir L′ = KL setzen, wobei K eine zweckmäßig gewählte abelsche Erweiterung von Q ist.

Wenn wir die globale Tate-Nakayama-Theorie anwenden, bekommen wir auf dieselbe Weise folgende Aussage.

Lemma 3.11. Es sei L ein vorgegebener CM-Körper mit Ideleklassengruppe C_{L}. Dann gibt es eine CM-Erweiterung L′ von L, so daß der Transitionshomomorphismus

H^{1}(Gal(L′/Q), X_{∗}(L′) ⊗ C_{L′}) → H^{1}(Gal(L/Q), X_{∗}(L) ⊗ C_{L})

Null ist.

Der nächste Satz folgt sofort aus Lemmas 3.9 und 3.10.

Korollar 3.12. Es sei L ein vorgegebener CM-Körper. Dann gibt es eine CM-Erweiterung L′ von L, so daß der Transitionshomomorphismus

H^{1}(Q, P_{L′}) → H^{1}(Q, P_{L})

Null ist.

Nach Lemma 3.6 gibt es eine Einbettung

ψ_{L} = ψ_{μ} : 𝒫_{L} ↪ 𝒢_{^{L}S}.

Aus der Definition von ψ_{μ} und aus Lemma 3.7 folgt die Kommutativität des folgenden Diagramms bis auf Äquivalenz

(3.h)  \begin{matrix}𝒫_{L′} & {ψ_{L′} \atop ↪} & 𝒢_{L′} \\ ↓ & & ↓ \\ 𝒫_{L} & {ψ_{L} \atop ↪} & 𝒢_{L}, \end{matrix}

in dem 𝒢_{L} = 𝒢_{^{L}S}, 𝒢_{L′} = 𝒢_{^{L′} S}. Nach den Definitionen des vorigen Abschnitts gelten weiter:

(3.i) ψ_{μ} ∘ ζ_{v_{1}} ≅ ξ_{μ}, ψ_{μ} ∘ ζ_{v_{2}} ≅ ξ_{−μ}.

(3.j) Wenn v weder ∞ noch p teilt, dann ist ψ_{μ} ∘ ζ_{v} zur kanonischen Neutralisierung von 𝒢_{L} äquivalent. Daß die lokalen Homomorphismen bis auf Äquivalenz verträglich mit der Abänderung von L sind, folgt

allerdings aus den Ergebnissen des vorigen Abschnitts.

Zwei lokale Homomorphismen unterscheiden sich um ein Element in

H^{1}(Gal(Q̄_{v}/Q_{v}),^{L}S(Q̄_{v})).

Das folgende Lemma besagt somit, daß für eine nichtarchimedische Stelle v von Q zwei beliebige kompatible Familien von lokalen Homomorphismen automatisch äquivalent sind. Insbesondere ist die Bedingung (3.j) sowie die zweite Hälfte von (3.i) automatisch erfüllt.

Lemma 3.13. Es sei v eine nichtarchimedische Stelle von Q. Zu jedem CM-Körper L gibt es einen CM-Körper L′, der L erhält und so daß

H^{1}(Gal(Q̄_{v}/Q_{v}),^{L′}S(Q_{v})) = 0.

Beweis. Wir betrachten die exakte Folge von algebraischen Tori über Q_{v} ([De2]):

1 → R_{L′_{0}/Q}G_{m} → G_{m} × R_{L′/Q}G_{m} → ^{L′}S → 1.

Die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz liefert

0 → H^{1}(Q_{v},^{L′}S) → ⨁_{v′_{0}} Br(L_{0_{v′_{0}}} ) → ( ⨁_{v′} Br(L′_{v})) ⨁ Br(Q_{v}).

Die Summen gehen über die Stellen über v in den entsprechenden Körpern. Die Behauptung folgt, weil wir eine Galoiserweiterung vom CM-Typ L′ ⫆ L finden können, so daß alle Stellen in L′_{0} über v in L′ zerfallen. Man wählt nämlich eine total-reelle Galoiserweiterung K von L_{0}, die L an jeder v teilenden Stelle zerfällt, und setzt

L′_{0} = KL_{0}, L′ = KL.

Im folgenden Abschnitt werden wir einem Inverssystem von Gerben ℳ_{L} mit ähnlichen Eigenschaften wie 𝒫_{L} begegnen, erstens Einbettungen

ϕ_{μ} : ℳ_{L} ↪ 𝒢_{L},

und zweitens lokalen Homomorphismen ζ′_{v}, für die die Algebra von (3.h), (3.i) und (3.j) gelten. Es wird weiter gelten

(3.k) ϕ_{μ}(M_{L}) = ψ_{μ}(P_{L}). Wir identifizieren deshalb M_{L} und P_{L}.

Lemma 3.14. Es sei angenommen, daß es für jede Primstelle v von Q und jedes L einen Isomorphismus

η_{L}(v) : ℳ_{L}(v) → 𝒫_{L}(v)

gibt, der auf dem Kern M_{L} die Identität ist. Dann gibt es einen Isomorphismus η_{L} : ℳ_{L} → 𝒫_{L}, so daß η_{L}(v) für jedes v zur Lokalisierung von η_{L} äquivalent ist. Die Familie {η_{L}} ist bis auf Äquivalenz eindeutig bestimmt und die Diagramme

(3.1)  \begin{matrix}ℳ_{L′} & ⟶ & ℳ_{L} \\ η′_{L}↓ & & ↓η_{L} \\ 𝒫_{L′} & ⟶ & 𝒫_{L} \end{matrix}

sind bis auf äquivalenz kommutativ.

Es sei ℳ_{L} durch den Kozyklus {m_{ϱ,σ}|ϱ, σ ∈ Gal(Q̄/Q)} definiert, und 𝒫_{L} durch {p_{ϱ,σ}}. Dann sind {m_{ϱ,σ}} und {p_{ϱ,σ}} lokal äquivalent. Nach dem Hasseprinzip von Lemma 3.5 können wir annehmen, daß m_{ϱ,σ} ≡ p_{ϱ,σ}.

Zwei bis auf Äquivalenz gegebene Isomorphismen η_{L}, η′_{L} : ℳ_{L} → 𝒫_{L} unterscheiden sich um eine Klasse aus H^{1}(Q, P_{L}). Infolgedessen können wir aus Lemma 3.9 schließen, daß zwei lokal äquivalente Isomorphismen auch global äquivalent sind. Somit ist die Eindeutigkeit von η_{L} bewiesen.

Die Kommutativität des Diagramms (3.1) wird ähnlich bewiesen. Es seien nämlich p′_{ϱ} aus 𝒫_{L′}. Repräsentanten der Elemente aus der Gruppe Gal(Q̄/Q) mit p′_{ϱ}p′_{σ} = p′_{ϱ,σ}p′_{ϱσ}, und es sei b_{ϱ}p_{ϱ}, b_{ϱ} ∈ P_{L}(Q̄) das Bild von p′_{ϱ}. In der gleichen Weise seien m′_{ϱ} Repräsentanten mit m′_{ϱ}m′_{σ} = m′_{ϱ,σ}m′_{ϱσ}, wobei allerdings m′_{ϱ,σ} = p′_{ϱ,σ}, und es sei a_{ϱ}m_{ϱ} das Bild von m′_{ϱ}. Es sei schließlich

η_{L′}(m′_{ϱ}) = c′_{ϱ} p′_{ϱ}, c′_{ϱ} ∈ 𝒫_{L′},

und es sei c_{ϱ} das Bild von c′_{ϱ} in 𝒫_{L}. Wir hätten η_{L} durch die Kommutativität von (3.1) definieren können, nämlich

(3.m) η_{L}(m_{ϱ}) = a_{ϱ}^{−1}b_{ϱ}c_{ϱ}p_{ϱ}. Somit folgt die Kommutativität aus der Eindeutigkeit.

Um η_{L} überhaupt zu definieren, nützen wir Lemma 3.10 aus und wählen L′ derart, daß die Transitionshomomorphismen H^{1}(Q_{v}, P_{L′}) → H^{1}(Q_{v}, P_{L}) für alle v Null sind. Ein möglicher Isomorphismus ξ : ℳ_{L′} → 𝒫_{L′} wird durch m′_{ϱ} → p′_{ϱ} definiert, denn m′_{ϱ,σ} = p′_{ϱ,σ}. Die Lokalisierung ξ(v) unterscheidet sich von η_{L′}(v) um ein α_{v} aus H^{1}(Q_{v}, P_{L}). Wir definieren η_{L} durch (3.m), indem wir c′_{ϱ} und folglich c_{ϱ} nicht mittels η_{L′}, das noch nicht vorhanden ist, definieren, sondern mittels ξ. Dann unterscheiden sich η_{L}(v) und die Lokalisierung von η_{L} um das Bild von α_{v} in H^{1}(Q_{v}, P_{L}), das nach Voraussetzung Null ist.

Wir benötigen im nächsten Abschnitt eine Aussage, die uns garantiert, daß wir die Gerben ℳ_{L} und 𝒫_{L} als Untergerben von 𝒢_{L} identifizieren können.

Lemma 3.15. Mit den Bezeichnungen des vorigen Lemmas sei außerden angenommen, daß die lokalen Homomorphismen in der unendlichen Stelle

ψ_{μ} ∘ ζ_{v_{1}} und ϕ_{μ} ∘ ζ′_{v_{1}}

von 𝒲 nach 𝒢_{L} für alle L zueinander äquivalent sind. Dann ist das folgende Diagramm bis auf Äquivalenz kommutativ.

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ℳ_{L} 𝒫L^{η_{L}}  𝒢_{L}^{ϕ_{μ}}^{ψ_{μ}}

Beweis. Nach Voraussetzung bilden die lokalen Homomorphismen ζ_{v} und ζ′_{v} für jede Stelle eine für variables L kompatible Familie. Daher ist dies auch für die lokalen Homomorphismen ψ_{μ} ∘ ζ_{v} und ϕ_{μ} ∘ ζ′_{v} von 𝒢_{L} richtig. Für eine nichtarchimedische Stelle sind diese lokalen Homomorphismen somit nach Lemma 3.13 äquivalent, während dies für die unendliche Stelle nach Voraussetzung richtig ist. Nach Identifikation von ℳ_{L} mit 𝒫_{L} unterscheiden sich die Einbettungen ϕ_{μ} und ψ_{μ} um eine Klasse aus H^{1}(Q,^{L}S), die folglich lokal trivial ist. Die Behauptung folgt aus dem Hasseprinzip für H^{1}(Q,^{L}S) ([De2], C.1).

Wir bemerken, daß wir im §2 die Gerbe 𝒯_{ν_{1},ν_{2}} und den Homomorphismus τ_{μ} explizit konstruiert haben, ohne jedoch eine eindeutige Charakterisierung gegeben zu haben. Für die Gerbe 𝒫 und den Homomorphismus τ_{μ}, der einem Kocharakter eines Torus, der die Serre-Bedingung erfüllt, zugeordnet ist, folgt eine solche Charakterisierung unmittelbar aus den Lemmata 3.14 und 3.15. Wir überlassen die Formulierung dem Leser (man benutze die Universaleigenschaft der Serre-Gruppe).

§4. DIE MOTIVISCHE GALOISGRUPPE

In diesem Abschnitt führen wir die motivische Galoisgruppe ein, indem wir die zugehörige Tannakakategorie definieren und beschreiben. Zunächst erinnern wir an die Beziehung zwischen Gerben und Tannakakategorien in einer Form, die wir verständlich finden, und zeigen, wie sich die Terminologie des §2 mit der in [DM] und [Sa] vergleicht.

Der Begriff einer Galoisgerbe über einem Körper k der Charakteristik Null, mit zugehörigen Kern G, wurde bereits zu Anfang des §2 definiert. Dort wurde auch der Begriff eines Homomorphismus zwischen Galoisgerbe erklärt. In jenem Abschnitt hatten wir neben der zu einer über k definierten linearen algebraischen Gruppe G assoziierten neutralen Galoisgerbe 𝒢_{G} auch Beispiele kennengelernt. Wenn V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über der algebraisch abgeschlossenen Hülle k̄ von k ist, können wir eine Galoisgerbe 𝒢_{V} einführen. Sie besteht aus allen Isomorphismen g : V → V, die additiv und σ-linear bezüglich eines σ = σ(g) ∈ Gal(k̄/k) sind. Der Homomorphismus g → σ(g) definiert eine exakte Sequenz

1 → GL(V) → 𝒢_{V} → Gal(k̄/k) → 1.

Der Schnittkeim ist durch die Wahl einer K-Basis von V für eine endliche Erweiterung K von k gegeben. Eine Darstellung der Galoisgerbe 𝒢 ist ein Homomorphismus 𝒢 → 𝒢_{V}. Die Kategorie aller Darstellungen einer gegebenen Galoisgerbe 𝒢 ist mit einer offensichtlichen k-linearen Struktur, einem Tensorprodukt und einem Einsobjekt 1, der Darstellung, die durch die natürliche Projektion nach Gal(k̄/k) definiert wird, versehen.

Obgleich diese Begriffe einer Gerbe und der ihr zugeordneten Tannakakategorie nicht die üblichen sind, hängen sie für die uns interessierenden Fälle eng mit denen von [DM] und [Sa] zusammen. Aus [DM], §3.10, folgt, daß jede Gerbe im Sinne von Giraud, die einer Tannakakategorie über k entspricht, ein inverser Limes von algebraischen Gerben ist. Es sei \underline{𝒢} eine algebraische Gerbe im Sinne von Giraud (der besseren Unterscheidung von den Galoisgerben wegen unterstreichen wir das Symbol), und es sei Q ∈ ob\underline{𝒢}_{Spec k̄} ein Objekt. Wir werden dem Paar (\underline{𝒢}, Q) eine Galoisgerbe 𝒢 zuordnen und zeigen, daß diese Zuordnung eine Äquivalenz von Kategorien darstellt. Dabei ist ein Homomorphismus (\underline{𝒢}, Q) → (\underline{ℋ}, R) in der ersten Kategorie ein Paar bestehend aus einem cartesischen Funktor Φ : \underline{𝒢} → \underline{ℋ} und einem Isomorphismus in \underline{ℋ}_{Spec k̄},

τ : Φ(Q) ≅ R.

Bei dem Wörterbuch zwischen algebraischen Tannakakategorien und algebraischen Gerben müssen beim Ersetzen der Giraudgerben durch Galoisgerben die Tannakakategorien ersetzt werden durch algebraische Tannakakategorien, zusammen mit einem Faserfunktor über k̄.

Nach der letzten Proposition im Anhang zu [DM] existiert eine endliche Erweiterung k′ von k und ein Objekt Q_{k′} aus \underline{𝒢}_{Spec k̄}, dessen inverses Bild in \underline{𝒢}_{Spec k̄}, mit einem Isomorphismus mit Q versehen ist. Anders gesagt (siehe Anhang zu [DM]) ist Q mit einem Abstiegsdatum über k′ ausgestattet. Es sei σQ ∈ ob \underline{𝒢}_{Spec k̄} das Objekt, das durch Zurückziehen mittels σ : k̄ → k̄ entsteht. Dann ist das Abstiegsdatum nichts anderes als ein System von Isomorphismen ϕ_{σ} : Q → ^{σ}Q für σ ∈ Gal(k̄/k), das die übliche Kozykelbedingung erfüllt. Wir definieren

𝒢 = {ϕ : Q → ^{σ}Q|σ ∈ Gal(k̄/k)}.

Weil es einen offensichtlichen Isomorphismus

σ : Isom(Q,^{ϱ}Q) → Isom(^{σ}Q,^{σϱ}Q)

gibt, sowie eine Paarung

Isom(Q,^{ϱ}Q) × Isom(^{ϱ}Q,^{ϱσ}Q) → Isom(Q,^{ϱσ}Q),

bildet 𝒢 eine Gruppe, und zwar eine Erweiterung von Gal(k̄/k) durch G(k̄) mit G =_{Df} Aut(Q). Nach Voraussetzung ist G eine algebraische Gruppe über k̄. Das Abstiegsdatum definiert eine Zerfällung der Erweiterung über Gal(k̄/k′). Auf diese Weise erhalten wir eine Galoisgerbe 𝒢.

Ein Quasi-Inverses ist leicht zu definieren. Es sei 𝒢 eine Galoisgerbe. Dann ist die Tannakakategorie Rep 𝒢 mit einen Faserfunktor über k̄ ausgestattet, der einer Darstellung den zugehörigen Vektorraum über k̄ zuordnet. Wir erhalten also die zu der Tannakakategorie Rep𝒢 zugeordnete Giraudgerbe \underline{𝒢} samt einem Element Q aus ob 𝒢_{Spec} k̄, dem Faserfunktor. Da für beliebiges \underline{𝒢} zwei Objekte aus ob\underline{𝒢}_{Spec k̄} isomorph sind, ist 𝒢 bis auf Isomorphismus eindeutig bestimmt. Der Isomorphismus zwischen zwei möglichen 𝒢 ist bis auf Konjugation mit einem Element aus G(k̄) eindeutig bestimmt. Folglich unterscheiden wir nicht allzusehr zwischen \underline{𝒢} und 𝒢.

Die Kategorie der Motiv über einem beliebigen Körper kann konstruiert werden, wenn die Standardvermutungen vorausgesetzt werden, und wir werden die Konstruktion weiter unten skizzieren. Diese Kategorie ist eine rigide abelsche Tensorkategorie über Q mit End(1) = Q. Falls der Körper von positiver Charakteristik ist, besitzt die Kategorie keinen Faserfunktor über Q, obwohl die Etalkohomologie einen Faserfunktor über Q_{l} liefert. Das bereitet unerwartet Schwierigkeiten, denn der Beweis des Satzes III, 3.2.2 in [Sa] ist lückenhaft, wie in [DM] hervorgehoben wird. Infolgedessen ist die Kategorie der Motive nicht ohne weiteres eine Tannakakategorie im Sinne von [DM]. Der Anmerkung am Ende von [DM] zufolge ist diese Lücke vielleicht nicht ernst. Es stellt sich aber heraus, daß für uns hier das Problem belanglos ist, denn es wird von den (sehr starken) Standardvermutungen sowieso behoben.

Um die spätere Darlegung nicht unterbrechen zu müssen, führen wir die notwendigen Betrachtungen an dieser Stelle aus.

Es sei C eine rigide abelsche Tensorkategorie über k mit End (1)= k, und es sei k′ eine Erweiterung von k ohne sonstige Eigenschaften. Wie in [DM], p. 156 führen wir die zu C äquivalente Unterkategorie der im wesentlichen konstanten Ind-Objekte C^{e} von Ind(C) ein (siehe [Sa], II.2.3.4). Der Funktor i : C^{e} → Ind(C)_{(k′)} wird formal durch dieselben Formeln wie in [DM] definiert. Es gilt

Hom(i(X), i(Y)) ≅ k′ ⊗_{k} Hom(X, Y).

Es sei C_{k′} die von i(X), X in C^{e}, erzeugte abelsche Tensor-Unterkategorie von Ind(C)_{(k′)} ([DM], 1.14). Wir betrachten i als einen Funktor von C nach C_{k′}. Wenn ω ein k′-wertiger Faserfunktor auf C ist, können wir ω′ wie in [DM] einführen und dasselbe kommutative Diagramm bekommen.

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} C_{k′} C  Veck′ ω  ω′ (4.d)

Wir setzen voraus, daß es ein ω gibt, für das ω′ exakt und treu ist, und zeigen, daß C dann eine Tannakakategorie ist.

Es gibt wenig zu zeigen. Aus (4.d) folgt

Aut^{⊗}ω = Aut^{⊗}ω′.

Dann schließen wir aus [DM], Th. 2.11, daß FIB(C) ([DM], §3.6) eine affine Giraudgerbe \underline{𝒢} ist. Es muß weiter gezeigt werden, daß

C →^{λ}Rep_{k}\underline{𝒢}

eine Äquivalenz von Kategorien ist. Wenn C_{0} ⫅ C, gibt es einen Funktor FIB(C) → FIB(C_{0}). Da jedes Φ aus Rep_{k}\underline{𝒢} sich durch FIB(C_{0}) faktorisiert mit C_{0} endlich erzeugt, können wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit annehmen, daß C endlich erzeugt ist ([DM], §1.14), denn C ist eine gefilterte Vereinigung seiner endlich erzeugten Unterkategorien. In diesem Fall können wir wegen der Proposition am Ende von [DM] k′ durch eine endliche Galoiserweiterung ersetzen, ohne daß die Exaktheit und Treuheit von ω′ verloren geht. Es sei also k′ endlich und galois’sch.

Da können wir C_{k′} mit C_{(k′)} identifizieren, indem wir i(x) im obigen Sinne mit dem i(x) von [DM], p. 156, identifizieren. Mittels des Morphismus id → ij wird X in C_{k′} ein Unterobjekt von ij(X). Wenn wir zu dualen Objekten übergehen, wird jedes X von C_{k′} Quotient eines Objekts aus i(C).

Es sei \underline{𝒢}′ = FIB(C_{k′}), i^{∗} der induzierte Funktor i^{∗} : FIB(C_{k′}) → FIB(C), und i^{∗∗} : Rep_{k}\underline{𝒢} → Rep_{k′} \underline{𝒢}′. Das Diagramm

C \underrightarrow{λ} Rep_{k}\underline{𝒢}
i↓  ↓i^{∗∗}
C_{k′}  \overrightarrow{λ′} Rep_{k′} \underline{𝒢}′

ist kommutativ.

Der Funktor i ist exakt und treu, und

dim_{k} Hom(X, Y) = dim_{k′} Hom(i(X), i(Y)).

Wenn Φ_{1} und Φ_{2} in Rep_{k}\underline{𝒢} liegen, dann ist die Abbildung

(4.e) Hom(Φ_{1}, Φ_{2}) ⊗_{k} k′ → Hom(Φ_{1}(ω), Φ_{2}(ω)) eine Einbettung. Wir stellen unsere Naivität unten bloß, indem wir den Grund dafür geben. Daraus folgt, daß

(4.f) dim_{k} Hom(Φ_{1}, Φ_{2}) ≦ dim_{k′} (Hom(i^{∗∗}Φ_{1}, i^{∗∗}Φ_{2})).

Da λ′ eine Äquivalenz von Kategorien ist, ist λ folglich volltreu und die Ungleichung (4.f) eine Gleichung.

Weil i^{∗∗}Φ_{1} ein Unterobjekt von einem λ′i(X) = i^{∗∗}λ(X) ist, ist Φ_{1} ein Unterobjekt von λ(X). Der Quotient Φ_{2} ist ein Unterobjekt von λ(Y), und Φ_{1} der Kern von einem Morphismus λ(X) → λ(Y). Weil λ volltreu ist, liegt Φ_{1} im wesentlichen Bild von λ.

Nach der Definition ([DM], p. 153) gibt es für jeden Automorphismus σ von k′ über k lineare Isomorphismen

α_{i} : Φ_{i}(ω) → Φ_{i}(ω) ⊗_{σ} k′, i = 1, 2

die mit Hom(Φ_{1}, Φ_{2}) verträglich sind. Es sei ϕ ∈ Hom(Φ_{1}, Φ_{2}). Dann gilt

(4.g)  \begin{aligned}α_{2}ϕ & = (ϕ ⊗ 1)α_{1}, \\ α_{2}a & = (1 ⊗ a)α_{1} = (σ^{−1}(a) ⊗ 1)α_{1}, a ∈ k. \end{aligned}

Wenn (4.e) keine Einbettung wäre, gäbe es ein minimales r und

ϕ_{1}, …, ϕ_{r} ∈ Hom(Φ_{1}, Φ_{2}), a_{1}, …, a_{r} ∈ k′,

so daß {ϕ_{1}, …, ϕ_{r}} über k linear unabhängig ist, während

∑_{i=1}^{r} a_{i}ϕ_{i} = 0

in Hom = (Φ_{1}(ω), Φ_{2}(ω)). Es ist notwendigerweise r ≧ 2. Aus (4.g) folgern wir für jedes σ,

∑_{i=1}^{r} σ^{−1}(a_{i})ϕ_{i} = 0,

woraus wir sofort einen Widerspruch bekommen.

Wir kommen jetzt zur Konstruktion der Kategorie der Motive. Es sei V_{F} die Kategorie der glatten projektiven, nicht notwendig zusammenhängenden Varietäten über F. Falls X ∈ obV_{F}, so bezeichne C^{∗}(X) den graduierten Q-Vektorraum der algebraischen Zykel (graduiert nach Kodimension) modulo numerischer Äquivalenz. Wir bilden aus V_{F} eine neue Kategorie CV_{F} mit denselben Objekten, die wir der Klarheit halber mit h(X) bezeichnen, und mit Morphismen die algebraischen Korrespondenzen vom Grad Null von X nach Y, ([Sa], A.0.3.3)

Hom_{CVF}(h(X), h(Y)) = CV^{0}(X, Y).

Falls also X irreduzibel von der Dimension n ist, so ist CV^{0}(X, Y) = C^{n}(X × Y). Die Kategorie CV_{F} ist eine Q-lineare Kategorie mit einer direkten Summe ⊕ (die der disjunkten Vereinigung entspricht) und einem Tensorprodukt ⊗ (das dem kartesischen Produkt entspricht) mit Einselement 1 = h(Spec F), das mit natürlichen Assoziativitäts- und Kommutativitätsgesetzen [DM], §1.1, versehen ist. Die Zuordnung X → h(X) ist ein kontravarianter Funktor (Graph eines Morphismus)

h : VF^{opp} → CV_{F}.

Die “falsche” Kategorie der effektiven Motive ṀF^{+} ist die pseudoabelsche (Karoubi-) Hülle von CV_{F}, die aus CV_{F} durch formales Hinzufügen der Bilder und Kerne von Projektoren entsteht ([DM], p. 201). In ṀF^{+} zerfällt h(P^{1}),

h(P^{1}) = 1 ⊕ L.

Dabei ist Hom(M, N) ˜ ⟶ Hom(M ⊗ L, N ⊗ L) für zwei effektive Motive M und N ([Sa], VI, 4.1.2.5). Die “falsche” Kategorie der Motive Ṁ_{F} entsteht aus ṀF^{+} durch formales Invertieren des Objekts L. Es sei T = L^{−1} das “Tate-Motiv” und M(n) = M ⊗ T^{n}. Dann ist

HomṀF(M(m), N(n)) = Hom(M ⊗ L^{N−m}, N ⊗ L^{N−n}), N ≧ m, n.

Wir wollen aus der so konstruierten ⊗-Kategorie eine (Z-) graduierte polarisierte Tannakakategorie machen. Dazu müssen wir die Standardvermutungen über algebraische Zyklen annehmen. Wir fixieren im weiteren ein l ≠ p und arbeiten mit der graduierten l-adischen Kohomologie H_{l}^{∗}(X) = ⨁ H^{i}(X, Q_{l}). Sie ist mit der Zykelabbildung

γ^{i} : C^{i}(X) → H_{l}^{2i}(X)(i)

und der Spurabbildung

Tr_{X} : H_{l}^{2n}(X)(n) → Q_{l}, n = dim X

versehen. Es gelten die Künnethformel, die Poincarédualität und der starke Lefschetzsatz. Die Standardvermutungen besagen:

1. Die Zykelabbildungen γ^{i} sind injektiv.

2. Die durch einen ampeln Divisor definierte Abbildung

l^{n−2p} : C^{p}(X) → C^{n−p}(X)

ist bijektiv für 0 ≦ 2p ≦ n = dim X.

3. Auf den primitiven algebraischen Zyklen

C_{pr}^{p}(X) =_{Df.}Ker l^{n−2p+1} = C^{p}(X) ∩ H_{pr}^{2p}(X)

ist die symmetrische Bilinearform

C_{pr}^{p}(X) × C_{pr}^{p}(X) → Q, (x, y) ↦ (−1)^{p} · Tr_{X}(l^{n−2p}xy)

positiv definit für 0 ≦ 2p ≦ n. Mittels Zerlegung in primitive Komponenten und passende Zeichensetzung ([Sa], VI. A.2.2.2.3) erhält man auf ganz C^{p}(X) eine positiv-definite symmetrische Bilinearform

(x, y) → Tr_{X}(x · ∗y).

(Diese Vermutungen sind nicht voreinander unabhängig [K].)

Aus diesen Vermutungen folgt, daß es Elemente

π^{i} ∈ C^{2n}(X × X), n = dim X

gibt, die die Zerlegung in Künnethkomponenten der Diagonale in der l-adischen Kohomologie geben:

Δ_{X} = ∑ π^{i} ∈ ⨁ H_{l}^{2n−i}(X) ⊗ H_{l}^{i}(X).

(Diese letzte Tatsache ist in Wirklichkeit über F bewiesen [K-M].)

Somit erhalten wir eine Zerlegung von id_{h(X)} in paarweise orthogonale Idempotente

id_{h(X)} = π^{0} ⊕ ⋯ ⊕ π^{n}

und entsprechend eine Zerlegung in ṀF^{+}

h(X) = h^{0}(X) ⊕ ⋯ ⊕ h^{n}(X).

Diese Graduierung der Objekte in CV_{F} erweitert sich in offensichtlicher Weise in eine Graduierung der Objekte aus Ṁ_{F}, so daß die Künnethformel gilt.

Um die Kategorie der echten Motive M_{F} aus der Kategorie der falschen Motive Ṁ_{F} zu erhalten, ändern wir das Kommutativitätsgesetz ψ und den homogenen Objekten ab durch

ψ = (−1)^{r·s}ψ̇ : M ⊗ N ˜ ⟶N ⊗ M, deg M = r, deg N = s

und setzen es linear fort. Wir wollen zeigen, daß wir auf diese Weise eine halbeinfache Tannakakategorie über Q erhalten haben. Dazu überzeugen wir uns zunächst davon, daß die Standardvermutungen zur Folge haben, daß die l-adische Kohomologie einen treuen exakten Funktor H_{l} : M_{F_{Q_{l}}} → Vec_{Q_{l}} definiert. Dies ist eine unmittelbare Folgerung aus der Injektivität der kanonischen Abbildung

(4.h) Hom(M, N) ⊗ Q_{l} → Hom(H_{l}^{∗}(M), H_{l}^{∗}(N)).

Es sei X eine Varietät. Die Bilinearform Tr_{X}(x · y) auf C^{∗}(X) nimmt Werte in Q und ist wegen der Standardvermutungen nicht-ausgeartet. Sie ist die Einschränkung der entsprechenden Bilinearform mit Werten in Q_{l} auf der l-adischen Kohomologie. Folglich ist der Kern der natürlichen Abbildung

C^{∗}(X) ⊗ Q_{l} → H_{l}^{∗}(X)

im Kern der Bilinearform auf C^{∗}(X) ⊗ Q_{l}, die durch Q_{l}-lineare Erweiterung aus der Bilinearform auf C^{∗}(X) entsteht, enthalten. Er ist folglich Null. Die obige Behauptung ist somit bewiesen, falls M und N die zu Varietäten assoziierten Motive sind. Dann aber folgt die Behauptung leicht auch für effektive Motive und schließlich auch für alle Motive. Als nächstes bemerken wir, daß der Beweis von Prop. 6.5 in [DM] (vgl. [Sa], VI.4.2.2) zeigt, daß jedes unzerlegbare Motiv einfach ist. (In loc.cit. wird nicht benutzt, daß der dort verwendete treue Funktor Werte in VecQ hat; ein treuer Q-linearer Funktor nach Vec_{k′} für eine beliebige Erweiterung k′ von Q leistet dieselben Dienste.) Wir können also (mit derselben Bemerkung) das Lemma 6.6 in [DM] anwenden und schließen, daß M_{F} eine halbeinfache Q-lineare abelsche Tensorkategorie ist. Offenbar ist End(1) = Q, so daß lediglich die Rigidität der Kategorie noch nachzuweisen ist. Diese folgt wie in [DM], p. 204 unten. Man erhält

h(X)^{∨} = h(X)(n),

falls X eine irreduzible Varietät der Dimension n ist. Daß M_{F} eine Tannakakategorie ist, folgt jetzt aus der Injektivität von (4.h), die das treue exakte ω′ in (4.d) ergibt.

Die Kategorie der Motive hat zusätzliche Strukturen. Genauer gesagt, ist M_{F} mit seiner Z-Graduierung w und dem Tate-Motiv T ein Tate-Tripel über Q [DM], §5. Es existiert eine Polarisierung π_{M} dieses Tate-Triples, die durch die Eigenschaft, daß für eine Varietät X die Polarisierungsmenge π_{M}(h^{r}(X)) die Form Tr_{X}(x · ∗y) enthält, charakterisiert ist.

Falls wir als Grundkörper an Stelle von F den Körper Q̄ der algebraischen Zahlen nehmen, so wurde in [DM] eine Kategorie der Motive MQ^{}¯ konstruiert. Dabei werden in der eben skizzierten Konstruktion die algebraischen Korrespondenzen (modulo numerischer Äquivalenz) durch die von den absoluten Hodgezykeln vermittelten kohomologischen Korrespondenzen ersetzt. Ein Vorteil dieses Vorgehens ist, daß keine unbewiesenen Vermutungen verwendet werden müssen. Ein Nachteil ist, daß die Reduktion modulo p eines absoluten Hodgezykels nicht definiert ist. Im folgenden interessiert uns nur die von den abelschen Varietäten vom CM-Typ und P^{1} erzeugte Unter-Tannakakategorie ([DM], 1.14.) CMQ^{}¯ von MQ^{}¯ . Damit die Konstruktionen von CMQ^{}¯ und M_{F} verträglich sind, müssen wir für das weitere die Hodgevermutung für abelsche Varietäten vom CM-Typ annehmen. Die Standardvermutungen über algebraische Zyklen für diese Varietäten sind dann übrigens eine Folgerung aus der Hodgetheorie. Eine abelsche Varietät vom CM-Typ über Q̄ hat gute Reduktion modulo p, wie auch die projektive Gerade. Genauer gesagt, ist eine solche abelsche Varietät bereits über einer endlichen Erweiterung K von Q definiert. Nach eventueller Vergrößerung von K besitzt sie gute Reduktion in der von der fixierten Einbettung von Q̄ in Q̄_{p} ausgezeichneten Stelle über p ([Se-Ta], Th. 6).

Dabei ist die Spezialisierungsabbildung auf den Chowringen ein Homomorphismus [Fu], 20.3.1.:

A(X) → A(X_{F}).

Aus den Standardvermutungen folgt, daß sich diese Abbildung über die numerischen Äquivalenzklassen faktorieiert, und dies kompatibel mit den Zykelabbildungen in der l-adischen Kohomologie, d.h. das folgende Diagramm ist kommutativ.

C^{∗}(X) ⟶  C^{∗}(X_{F})
↓ ↓
H_{l}^{2∗}(X)(∗) ˜ ⟶ H_{l}^{2∗}(X_{F})(∗).

In der Tat, falls x ∈ A(X) numerisch äquivalent zu Null ist, so ist Tr_{X}(x·∗x) = 0, also auch das Bild von x in A(X_{F}) numerisch äquivalent zu Null. Man sieht leicht, daß man auf diese Weise einen Tensor-Funktor erhält, der die Reduktion modulo p dieser Motive beschreibt

red : CMQ^{}¯ → M_{F}.

Genauer sei L ⫅ Q̄ ein CM-Körper und ^{L}CMQ^{}¯ die Unter-Tannakakategorie von CMQ^{}¯ , die von den abelschen Varietäten vom CM-Typ durch L und von P^{1} erzeugt wird. Für L ⫅ L′ erhalten wir

LCMQ^{}¯ → ^{L′}CMQ^{}¯ .

Dazu fassen wir eine abelsche Varietät X mit komplexer Multiplikation durch L als direkten Summanden der abelschen Varietät (bis auf Isogenie) mit komplexer Multiplikation durch L′, X ⊗_{L} L′ (mit offensichtlicher Definition) auf. Die rationale Kohomologie definiert einen natürlichen Faserfunktor von ^{L}CMQ^{}¯über Q:

LCMQ^{}¯ → Vec_{Q}, h(X) ↦ ⊕H^{i}(X ×Q^{}¯ C, Q).

Deligne ([D2], (A)) hat gezeigt, daß die entsprechende neutralisierte Gerbe über Q die zur Serregruppe gehörige Giraudgerbe \underline{𝒢}_{L} = \underline{𝒢}_{^{L}S} ist (\underline{𝒢}_{^{L}S} entspricht der Galoisgerbe 𝒢_{L} = 𝒢_{^{L}S}), und daß der den obigen Funktoren entsprechende Homomorphismus die natürliche Projektion ist,

𝒢_{L′} → 𝒢_{L}.

Es sei ^{L}M_{F} die Unter-Tannakakategorie von M_{F}, die durch das Bild von ^{L}CMQ^{}¯ unter dem Reduktionsfunktor erzeugt wird ([DM], 1.14). Weil^{L}CMQ^{}¯ eine algebraische Tannakakategorie ist, ist auch^{L}M_{F} eine algebraische Tannakakategorie ([DM], 2.20). Ihre Gerbe bezeichnen wir mit ℳ_{L}. Falls L ⫅ L′, so ist der Homomorphismus von Gerben ℳ_{L′} → ℳ_{L} surjektiv, weil der Funktor ^{L}M_{F} → ^{L′}M_{F} volltreu ist und jedes Unterobjekt eines Bildes das Bild eines Unterobjektes ist ([DM], 2.21, siehe Anmerkung 1 am Ende des Abschnitts). Wir erhalten kommutative Diagramme

\underline{ℳ}_{L′}  \underrightarrow{ϕ_{L′}}  \underline{𝒢}_{L′}
↓  ↓
\underline{ℳ}_{L} \underrightarrow{ϕ_{L}}  \underline{𝒢}_{L}.

Um die von uns gewünschten Eigenschaften von ℳ_{L} nachzuweisen, müssen wir die Tatevermutung für die l-adische Kohomologie (für das von uns fixierte l) von algebraischen Varietäten über endlichen Körpern [Sa], A.4 annehmen. Es sei Tate_{F_{p^{m}}} die Tannakakategorie über Q_{l} der stetigen halb-einfachen l-adischen Darstellungen der Galoisgruppe T_{m} = Gal(F/F_{p^{m}}), die mit einem natürlichen Faserfunktor versehen ist

ω_{m} : Tate_{F_{p^{m}}} → Vec_{Q_{l}}.

Wir bilden den direkten Limes (Restriktion)

Tate_{F} = lim_{⟶} Tate_{F_{p^{m}}}

und erhalten so eine neutralisierte, halbeinfache Tannakakategorie über Q_{l}. Das Frobeniuselement in Gal(F/F_{p^{m}}) definiert einen Isomorphismus T_{m} ≅ Ẑ. Die proalgebraische Gruppe T_{m} = Aut^{⊗}(ω_{m}) ist die algebraische Hülle von T_{m} über Q_{l}, und es ist

Rep.cont._{Q_{l}}(T_{m}) → Rep._{Q_{l}}(T_{m})

(vgl. [Sa], V.0.3.1.). Insbesondere ist T_{m} abelsch und folglich ([DM], 2.23), weil Rep_{Q_{1}}(T_{m}) eine halbeinfache Tannakakategorie ist, ein projektiver Limes von algebraischen Gruppen von multiplikativem Typ. Wir wollen die Charaktergruppe von T_{m} bestimmen. Dazu erweitern wir die Skalare von Q_{l} nach Q̄_{l}, so wie dies am Anfang dieses Abschnitts erklärt wurde.

Rep.cont._{Q_{l}}T_{mQ^{}_{¯ l}} ˜ ⟶ Rep._{Q_{l}}T_{mQ^{}_{¯ l}} = RepQ^{}_{¯ l}T_{m}.

(Für die letze Identifikation vgl. [DM], 3.12.) Man sieht leicht ein, daß die Kategorie links einfach die Kategorie der diagonalisierbaren Darstellungen von T_{m} in einem Q̄_{l}-Vektorraum, bei denen die Eigenwerte des Frobeniuselements l-adische Einheiten sind, ist. Diese bilden eine halbeinfache Tannakakategorie über Q̄_{l}, in der die einfachen Objekte den Rang 1 ([DM], 1.7.3.) haben. Weiterhin werden die einfachen Objekte durch die Gruppe 𝒪Q^{}_{¯ l}^{∗} der l-adischen Einheiten parametrisiert. Wir schließen ([Sa], VI.3.5.1.) daß

X^{∗}(T_{m}) ≅ 𝒪Q^{}_{¯ l}^{∗}.

Die Transitionsabbildung X^{∗}(T_{m}) → X^{∗}(T_{m′}) für m|m′ schickt π nach π^{\frac{m′}{m}}.

Im nächsten Lemma gehen wir zu Galoisgerben über. Folglich ist ϕ_{L} nur bis auf Konjugation mit einem Element aus ^{L}S(k̄) bestimmt.

Lemma 4.1. Es sei L galois’sch. Der kanonische Homomorphismus

ℳ_{L} ⟶^{ϕ_{L}} 𝒢_{L}

is injektiv. Die Kerne M_{L} von ℳ_{L} und P_{L} von 𝒫_{L} sind als Untertori von ^{L}S identisch.

Beweis. Aus den Definitionen folgt, daß jedes Objekt aus ^{L}M_{F} isomorph zu einem Subquotienten von red(X) für ein X ∈ ob^{L}CMQ^{}¯ ist. Daher ([DM], 2.21) ist die erste Aussage klar (siehe Anm. 1). Wir hatten weiter oben gezeigt, daß die l-adische Kohomologie einen treuen Funktor von Tannakakategorien über Q_{l} definiert

LM_{F_{Q_{l}}} ⟶^{H_{l}} GradTate_{F}.

Die Tatevermutung über F ist äquivalent zur Aussage, daß dieser Funktor volltreu ist ([Sa], A.4). (Diese Vermutung ist eine Folgerung der Tatevermutung über endlichen Körpern.) Weil die Tannakakategorie GradTate_{F} halbeinfach ist, ist dann auch jedes Unterobjekt eines Bildes das Bild eines Unterobjekts. Folglich ist der Homomorphismus auf den Charaktermoduln der Kerne injektiv ([DM], 2.21, siehe Anmerkung 1)

X^{∗}(M_{L}) → X^{∗}(T) = lim_{→} X^{∗}(T_{m}).

Weil M_{L} eine algebraische Gruppe ist, folgt aus der Definition des direkten Limes auf der rechten Seite, daß X^{∗}(M_{L}) torsionfrei ist und somit M_{L} ein Torus.

Wir betrachten das Diagramm mit den offensichtlichen Pfeilen

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  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Dabei ist die Surjektivität des oberen schrägen Pfeils bereits klar, während sie für den unteren schrägen Pfeil aus Lemma 3.6 folgt. Somit genügt es für den Beweis, die Kommutativität des Diagramms nachzuweisen. Wir betrachten ein Element χ ∈ X^{∗}(^{L}S) der Form

χ = ∑ n_{σ} · [σ], n_{σ} + n_{ισ} = 1,

n_{σ} = 0 oder 1. Sein Bild unter X^{∗}(ψ_{L}) ist (siehe Rechnung nach 3.7) die Weilzahl π_{χ} = π ∈ L mit (1) π · π̄ = q

(2) | ∏_{σ∈Gal(L_{v}/Q_{p})} σπ|_{p} = q^{− ∑_{σ∈Gal(Lv /Q_{p})} n_{σ}} für v|p.

Hierbei ist q = p^{m} mit genügend großem m. Andererseits entspricht χ einer abelschen Varietät vom CM-Typ (L, Φ) bis auf Isogenie mit Φ = {σ|n_{σ} = 1}, [Mu2], p. 212. Diese abelsche Varietät ist über einer endlichen Erweiterung von Q definiert und hat dort gute Reduktion modulo p über einem endlichen Körper F_{q}. Es sei π der Frobeniusendomorphismus dieser abelschen Varietät über F_{q} aufgefaßt als Element von L. Dies ist eine Einheit außerhalb ∞ und p (Existenz der l-adischen Kohomologie) und erfüllt (1) (Weilvermutungen) und (2) (Formel von Shimura-Taniyama). Folglich sind die Bilder von χ unter den beiden Homomorphismen von X^{∗}(^{L}S) nach X^{∗}(T) identisch. Die Behauptung folgt, weil solche Elemente X^{∗}(^{L}S) erzeugen ([D2], A.2.).

Korollar 4.2. Es sei L galois’sch. ^{L}M_{F} ist die Unter-Tannakakategorie der Motive, deren Frobeniusendomorphismen bzgl. eines hinreichend großen endlichen Körpers alle Eigenwerte in L haben.

Die Tannakakategorie ^{L}M_{F} ist mit dem Faserfunktor über Q_{l} ausgestattet, der durch die l adische Kohomologie definiert wird, für jedes l ≠ p:

LM_{F} ⟶^{H_{l}} Vec_{Q_{l}}.

Dieser definiert eine Trivialisierung ζ′_{l} von ℳ_{L} über Q_{l}. Die kristalline Kohomologie (tensorisiert mit Q) ordnet jedem Motiv ein (F)-Isokristall über dem Quotientenkörper k = F (F) der Wittvektoren über F zu (siehe Anmerkung 2 am Ende des Abschnitts). Die zur Tannakakategorie der Isokristalle über k gehörige Gerbe ist die Dieudonnégerbe 𝒟. Genauer gesagt ist diese Tannakakategorie zu dem gefilterten inversen System der Gerben 𝒟^{L_{n}} gehörig, wobei L_{n} die unverzweigte Erweiterung vom Grade n von Q_{p} bezeichnet. Dies folgt aus [Sa], VI.3.3.2 (siehe auch die Anmerkung zum nächsten Abschnitt). Die kristalline Kohomologie definiert somit einen Homomorphismus von Gerben

ζ′_{p} : 𝒟 → ℳ_{L}.

Die so konstruierten lokalen Homomorphismen sind offensichtlich kompatibel bezüglich der Abänderung von L. Für v = l ≠ p sind die lokalisierten Gerben 𝒫_{L}(v) und ℳ_{L}(v) als neutrale Gerben mit demselben Kern isomorph. Für v = p sind die Isomorphieklassen von 𝒫_{L}(v) bzw. ℳ_{L}(v) als Gerben über Q_{p} mit M_{L} = P_{L} eindeutig bestimmt durch die Einschränkungen der lokalen Homomorphismen ζ_{p} bzw. ζ′_{p} auf den Kern. Um zu zeigen, daß diese Einschränkungen identisch sind, genügt es, die Einschränkungen ν^{L_{n}} bzw. ν′^{L_{n}} von ψ_{L} ∘ ζ_{p} : 𝒟^{K_{n}} → 𝒢_{L} bzw. ϕ_{L} ∘ ζ′_{p} : 𝒟^{K_{n}} → 𝒢_{L} zu vergleichen. Die erste ist gegeben durch die Formel

| ∏_{Gal(L_{n}/Q_{p})} σπ_{χ}|_{p} = q^{−⟨v^{Ln} ,χ⟩}, χ ∈ X^{∗}(^{L}S).

Der Homomorphismus ϕ_{L} ∘ ζ′_{p} : 𝒟^{L_{n}} → 𝒢_{L} definiert ein Element b aus Kottwitz’s Menge B(^{L}S) (vgl. Anmerkung zum §5). Der Homomorphismus ν′^{L_{n}} ist durch die Folge der Anstiege des Newtonpolygons der zu ϕ_{L} ∘ ζ′_{p} gehörigen Isokristallstruktur auf den Darstellungen von ^{L}S gegeben (vgl. [K4], §4.2). Kottwitz hat gezeigt ([K4], 4.3), daß

⟨ν′^{L_{n}}, χ⟩ = n · val(χ(b)),

wobei val die normalisierte Bewertung bezeichnet. Die gewünschte Gleichheit folgt, weil im Fall, daß χ = χ_{ϕ} zu einer abelschen Varietät vom CM-Typ (L, Φ) über F_{q} gehört, sein Frobeniusendomorphismus π_{χ} in folgender Beziehung zum F des Dieduonnémoduls steht ([Dem], p.63):

π_{χ} = b · σ(b) ⋯ σ^{m−1}(b).

Um die lokale Zusatzstruktur von ℳ_{L} in der unendlichen Stelle zu definieren, verwenden wir die graduierte Polarisierung π_{M} des Tatetripels (^{L}M_{F}, w, 1 (1)). Weil es Motive von ungeradem Grad in ^{L}M_{F} gibt, dürfen wir [DM], 5.20 anwenden. Das dort beschriebene Tatetripel (V, w, T) ist gerade die graduierte Tannakakategorie, die zur R-Gerbe 𝒲 gehört. Somit erhalten wir einen bis auf Äquivalenz eindeutig bestimmten Homomorphismus von Gerben

ζ′_{∞} : 𝒲 → ℳ_{L},

der auf den zugehörigen Tate-Triplen einen Funktor definiert

(^{L}M_{F}, w, 1(1)) → (V, w, T),

der bis auf Isomorphie durch die Eigenschaft charakterisiert ist, daß er die Polarisierung π_{M} in die kanonische Polarisierung π_{can} von (V, w, T) überführt. Wir wollen zeigen, daß die Komposition ϕ_{L}∘ζ′_{∞} äquivalent zu ξ_{μ} : 𝒲 → 𝒢_{L} ist. Aber gerade wie ^{L}M_{F} ist auch ^{L}CMQ^{}¯ in natürlicher Weise mit einer graduierten Polarisierung π_{CM} versehen und unter dem Reduktionsfunktor geht π_{CM} in π_{M} über. Somit ist die Komposition ϕ_{L} ∘ ζ′_{∞} der durch die Prop. 5.20 in [DM] zu (^{L}CM_{Q}, π_{CM}) assoziierte Homomorphismus von 𝒲 nach 𝒢_{L}. Dieser Homomorphismus ist aber leicht zu bestimmen. Auf den Kernen ist er durch die Graduierung gegeben, also gleich dem Gewichtshomomorphismus

v = μ + ιμ : G_{m}(C) → ^{L}S(C).

Die graduierte Polarisierung π_{CM} auf der neutralen Tannakakategorie ^{L}CMQ^{}¯ ist von der Form π_{C} für ein wohlbestimmtes Hodgeelement C ∈ ^{L}S(R) ([DM], 4.22 und 4.25 (b)). Aus der Hodgetheorie folgt, daß C = ν(i). In der Tat induziert C auf einer R-rationalen Darstellung V von ^{L}S gerade den zu der auf V induzierten Hodgestruktur gehörigen Weiloperator [W] und die von Weil definierte Bilinearform [W], IV, Cor. zu Th. 7, liegt in π_{CM}(V). Nach Definition des Homomorphismus ϕ_{L} ∘ ζ′_{∞} ([DM], 5.20) geht also das gewählte Erzeugende w_{ι}𝒲 mit w_{ι}^{2} = −1 über in

v(i) ⋊ ι ∈ ^{L}S(C) ⋊ Gal(C/R).

Es ist klar, daß dieser Homomorphismus äquivalent zu ξ_{μ} : 𝒲 → 𝒢_{L} ist:

μ(i)(v(i) ⋊ ι)μ(i)^{−1} = μ(−1) ⋊ ι.

Zusammenfassend haben wir gezeigt, daß in jeder Stelle v die Gerben 𝒫_{L}(v) und ℳ_{L}(v) isomorph sind. Wegen der vorhergehenden Bemerkungen sind überdies die Voraussetzungen des Lemmas 3.15 erfüllt. Wir erhalten somit den folgenden Satz:

Satz 4.4. Es gibt eine Familie von Isomorphismen, η_{L} : ℳ_{L} → 𝒫_{L}, so daß η_{L} ∘ ζ′_{v} ≅ ζ_{v}, und so daß folgende Diagramme bis auf Äquivalenz kommutativ sind:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} 𝒫L′^{η_{L′}}  ^{ψ_{L}} ℳ_{L}  𝒢_{L}^{ϕ_{L}} ℳ_{L′}  ℳ_{L}  𝒫^{L} 𝒫^{L}^{η_{L}}

Anmerkung 1. Die zitierte Literaturstelle behandelt allerdings nur Tensorfunktoren ω : C′ → C zwischen neutralen Tannakakategorien über k. Um sie hier anwenden zu können, genügt es, sich davon zu überzeugen, daß, falls ω eine der beiden unten stehenden Voraussetzungen erfüllt, so auch der nach einer endlichen Basiskörpererweiterung k_{1}/k entstehende Funktor ω_{(k_{1})} : C′_{(k_{1})} → C_{(k_{1})}. Die Voraussetzungen lauten:

1. ω ist volltreu und jedes Unterobjekt von ω(X′), X′ ∈ ob C′, ist isomorph zum Bild eines Unterobjekts von X′.

2. Jedes Objekt in C ist Subquotient eines Objekts der Form ω(X′), X′ ∈ ob C′.

Die Tannakakategorie C_{(k_{1})} kann identifiziert werden mit der Kategorie der k_{1}-Moduln (X, α_{X} : k_{1} → End(X)) in C ([DM], p. 156). Dabei ist der Funktor i = i_{k_{1}|k} : C → C_{(k_{1})} (äußeres Tensorprodukt mit k_{1}) linksadjungiert zu j = j_{k_{1}/k} : C_{(k_{1})} → C, der (X, α_{X}) nach X schickt. Es ist k_{1} ⊗_{k} Hom(X, Y) = Hom(i(X), i(Y)). Jetzt möge ω die Voraussetzung 1 erfüllen. Für (X′, α_{X′}), (Y′, α_{Y′}) ∈ ob C′_{k_{1})} ist

Hom((X′, α_{X′}), (Y′, α_{Y′})) = Hom((ω(X′), ω(α_{X′})), (ω(Y′), ω(α_{Y′})))

als Untermengen von Hom(ω(X′), ω(Y′)), weil ω nach Voraussetzung volltreu ist. Also ist ω_{(k_{1})} volltreu. Entsprechend sei (Y, α_{Y}) ein Unterobjekt von (ω(X′), ω(α_{X′})). Nach Voraussetzung ist Y isomorph zu einem Objekt der Form ω(Y′) für ein Unterobjekt Y′ von X′. Wegen der Volltreuheit von ω definiert dann α_{Y} eine k_{1}-Modulstruktur α_{Y} : k_{1} → End(Y′) auf Y′ und (Y, α_{Y}) ist isomorph zum Bild unter ω_{(k_{1})} des Unterobjekts (Y′, α_{Y′}) von (X′, α_{X′}). Jetzt möge ω die Voraussetzung 2. erfüllen. Es sei X_{1} ein Objekt von C_{(k_{1})} und j(X_{1}) ein Subquotient von ω(X′). Der Adjunktionshomomorphismus identifiziert X_{1} mit einem Unterobjekt von i ∘ j(X_{1}), das seinerseits ein Subquotient von i(ω(X′)) = ω_{(k_{1})}(i(X′)) ist. Anmerkung 2. Einer Mitteilung von L. Illusie zufolge ist das Problem der Definition einer Zykelklasse in der kristallinen Kohomologie mit den üblichen formalen Eigenschaften jetzt gelöst. Für die rationale kristalline Kohomologie ist eine solche Lösung von H. Gillet und W. Messing angegeben worden (unveröffentlicht); für die “ganze” kristalline Kohomologie wurde eine Lösung von M. Gros erzielt (Thèse de 3^{me} cycle, Orsay 1983).

§5. EINE VERMUTUNG ÜBER SHIMURAVERIETÄTEN UND IHRE FOLGEN

Für die Definition einer Shimuravarietät wird der Leser auf [D1] hingewiesen. Eine Shimuravarietät ist einer über Q definierten algebraischen Gruppe G, einem über R definierten Homomorphismus h von S = Res_{C/R}G_{m} nach G, und einer offenen kompakten Untergruppe K aus G(A_{f}) zugeordnet. Es sei 𝒢 = 𝒢_{G} die neutrale Gerbe

G(Q̄) ⋊ Gal(Q̄/Q).

Was gegeben ist, ist nicht tatsächlich h, sondern die Konjugationsklasse X_{∞} von h bezüglich G(R). Dieser Klasse ordnen wir eine Äquivalenzklasse von Homomorphismen von Gerben über R zu,

ξ_{∞} : 𝒲 → 𝒢.

Die Gruppe \underline{S} ist mit einem kanonischen Kogewicht μ versehen, und (z, w) → z^{μ} wμ̄, μ̄ = ι(μ), ist ein Isomorphismus von \underline{S} mit G_{m} × G_{m}, der über C definiert ist. Wir definieren ξ_{∞}(z) = h(z^{μ+μ̄}), z ∈ C^{×}, ξ_{∞}(w) = h((−1)^{μ}) ⋊ ι, wenn w = w(ι).

Da μ + μ̄ zentral ist, definiert ξ_{ω} einen Homomorphismus der Gerbe Gal(C/R) nach 𝒢_{G_{ad}} = 𝒢_{ad} und folglich eine Klasse a in H^{1}(R, G_{ad}).

Lemma 5.1. Es sei G′ die der Klasse a entsprechende R-Form von G. Dann ist G′_{ad}(R) kompakt.

Es sei T eine über R definierte Cartanuntergruppe, durch die h sich faktorisieren läßt. Dann ist h(μ) ein Kogewicht von T, das wir gleichfalls mit μ bezeichnen. Wenn α eine Wurzel von T ist, können wir die Wurzelvektoren X_{α}, X_{−α} so wählen, daß

[X_{α}, X_{−α}] = H_{α}, α(H_{α}) = 2, ι(X_{α}) = ±X_{−α}.

Wenn das Vorzeichen positiv ist, ist die Wurzel α nicht kompakt, und wenn es negativ ist, ist α kompakt. Das Vorzeichen ist −(−1)^{⟨μ,α⟩} (siehe [Sh], §4). Wenn wir zu G′ übergehen, wird die Wirkung von ι durch die von (−1)^{μ}ι = ι′ ersetzt. Für ι′ gilt also

ι′(X_{α}) = −X_{−α}

für jedes α, und G′_{ad}(R) ist daher kompakt, denn jede Wurzel von G′ ist kompakt.

Wir haben eine Primzahl p ein für allemal fixiert. Es wird vorausgesetzt daß G über einer unverzweigten Erweiterung von Q_{p} zerfällt. Es wird weiter vorausgesetzt, daß die kompakte Untergruppe, die die Shimuravarietät definiert, ein Produkt ist:

K = K^{p} · K_{p}

mit K^{p} ⊂ G(A_{f}^{p}) und K_{p} ⊂ G(Q_{p}). Die Zeit ist sicherlich nicht reif, eine Vermutung über die Reduktion von Shimuravarietäten zu formulieren, ohne K_{p} starke Einschränkungen aufzuerlegen, obwohl spezielle Fälle gewiß zugänglich sind ([C], [DR]). Wir setzen eine der zwei folgenden Bedingungen voraus. Entweder (a) K_{p} ist hyperspeziell im Sinne von [T], §3.1. oder (b) G_{ad} ist über Q_{p} anisotrop, und K_{p} ist die maximale kompakte Untergruppe von G(Q_{p}). Der Leser wird leicht die Betrachtungen dieses Abschnitts ein bißchen verallgemeinern. Da aber in dieser Arbeit hauptsächlich der Fall (a) betrachtet wird, und in einer weiteren noch zu schreibenden Arbeit des zweiten Autors der Fall (b), und da uns der natürliche Rahmen für die nachstehenden Vermutungen keineswegs klar ist, haben wir es vorgezogen, bei diesen beiden Fällen zu bleiben.

Wir setzen auch voraus, daß die derivierte Gruppe G_{der} von G einfach-zusammenhängend ist, eine Annahme, die die Allgemeinheit nicht beschränkt, und deren Grund wir später erklären werden. Es sei 𝔨 die Komplettierung der maximal unverzweigten Erweiterung Q_{p}^{un} von Q_{p}. Auf 𝔨 operiert Gal(Q_{p}^{un}/Q_{p}). Das Gebäude ℬ(G, 𝔨) ist in [T] definiert. In den Fällen (a) und (b) gibt es Facetten w_{1}, …, w_{r} minimaler Dimension und Punkte x_{i} ∈ w_{i}, so daß die Menge {x_{1}, …, x_{r}} unter Gal(Q_{p}^{un}/Q_{p}) erhalten bleibt, und so daß K_{p} der Stabilisator in G(Q_{p}) des Mittelpunkts des von {x_{1}, …, x_{r}} aufgespannten Simplex ist.

Wir führen zunächst den Begriff eines zulässigen Homomorphismus ϕ : 𝒬 → 𝒢 ein. Dieser Homomorphismus läßt sich allerdings durch ein 𝒬_{L} faktorisieren, und wir arbeiten oft mit 𝒬_{L} statt 𝒬. Es sind vier Bedingungen zu erfüllen. Es sei erstens G_{ab} der Quotient G/G_{der} und h_{ab} die Verkettung,

\underline{S} → G → G_{ab}.

Wir schreiben h_{ab}(z, w) = z^{μ_{ab}} · wμ̄_{ab}. Da die Gruppe G_{ab} ein Torus ist, können wir den μ_{ab} zugeordneten Homomorphismus ψ_{μ_{ab}} : 𝒬 → 𝒢_{ab} = 𝒢_{G_{ab}} einführen.

(5.a) Das Kompositum

ϕ_{ab} : 𝒬 ⟶^{ϕ} 𝒢 ⟶ 𝒢_{ab}

ist ψ_{μ_{ab}} äquivalent.

Es sind etliche Homomorphismen nach 𝒢 vorhanden:

(i) ζ_{∞} = ζ_{v_{1}} : 𝒲 → 𝒢, (ii) ζ_{p} = ζ_{v_{2}} : 𝒟 → 𝒢, (iii) ζ_{l} : 𝒢_{l} → 𝒢, l ≠ p. (5.b) Das Kompositum ϕ ∘ ζ_{∞} ist ξ_{∞} äquivalent. (5.c) Das Kompositum ϕ ∘ ζ_{l} ist der kanonischen Neutralisierung ξ_{l} von 𝒢 über Q_{l} äquivalent. Die Bedingung an der Stelle p ist umständlicher zu klären. Es seien w_{1}^{0}, …, w_{r}^{0} und x_{i}^{0} ∈ w_{i}^{0} die K_{p}

definierenden speziellen Facetten und Punkte und

𝒳 = {(x_{1}, …, x_{r})|∃g ∈ G(𝔨) mit x_{i} = g · x_{i}^{0} ∀i}.

Wir definieren σ(i), 1 ≦ i ≦ r, σ ∈ Gal(Q̄/Q) mittels der Gleichung

σ(x_{i}^{0}) = x_{σ(i)}^{0}.

Dem Lemma 2.1 zufolge gibt es eine unverzweigte Erweiterung L von Q_{p}, so daß ζ_{p} = ϕ ∘ ζ_{p} als ein Homomorphismus von 𝒟^{L} nach 𝒢 aufgefaßt werden kann, der selbst durch einen Homomorphismus ξ_{p} der Erweiterung

1 → L_{1}^{×} → 𝒟_{L_{1}}^{L} → Gal(L_{1}/Q_{p}) → 1

nach G(L_{1}) ⋊ Gal(L_{1}/Q_{p}) definiert wird, wobei L_{1} eine endliche Galoiserweiterung von Q_{p} ist. Es sei L_{2} der maximale über L unverzweigte Unterkörper von L_{1}. Der 𝒟_{L_{1}}^{L} definierende Kozyklus ist eigentlich auf Gal(L/Q_{p}) definiert. Folglich ist Gal(L_{1}/L) und insbesondere Gal(L_{1}/L_{2}) in 𝒟_{L_{1}}^{L} eingebettet, und die Einschränkung von ξ_{p} auf Gal(L_{1}/L_{2}) durch einen 1-Kozyklus dieser Gruppe mit Werten aus G(L_{1}) definiert. Nach einem Satz von Steinberg (siehe [Se], S. 3) gibt es eine unverzweigte Erweiterung L′ von L, so daß dieser Kozyklus aufgefaßt als Kozyklus von Gal(L_{1}L′/L_{2}L′) mit Werten aus G(L_{1}L′) trivial wird. Infolgedessen können wir L durch L_{2}L′ ersetzen und ξ_{p} durch einen äquivalenten Homomorphismus ξ′_{p} und annehemen, daß L_{1} = L.

Der Homomorphismus ξ′_{p} schickt dann 𝒟_{L}^{L} nach G(L) ⋊ Gal(L/Q_{p}). Die Gruppe 𝒟_{L}^{L} ist der Weilgruppe W_{L/Q_{p}} isomorph, und W_{L/Q_{p}} ist auf die natürliche Weise in Gal(Q_{p}^{un}/Q_{p}) abgebildet. Es sei ξ der durch die Kommutativität des folgenden Diagramms definierte Homomorphismus von W_{L/Q_{p}} nach G(𝔨)⋊Gal(Q_{p}^{un}/Q_{p}):

..................................................................................................................................................................................................................................................................... .............................. ........................................................................................................................................................................................................................................... ..............................  ..............................  .............................. .............................. .............................. WL/Qp G(L)⋊Gal(Q{un \atop p}/Qp) G(𝔨)⋊Gal(Q{un \atop p}/Qp).  Gal(Q{un \atop p}/Qp) G(L)⋊Gal(L/Qp)

Es sei w ein Urbild des Frobeniuselements σ unter dem kanonischen Homomorphismus W_{L/Q_{p}} → Gal(Q_{p}^{un}/Q_{p}). Das Element w ist bis auf eine Einheit aus L^{×} eindeutig bestimmt. Es kann daher ein zweites mögliches w′ als x · σ(x)^{−1} · w geschrieben werden mit x ∈ 𝔨^{×}. Die Einschränkung von ξ′_{p} aud 𝒟_{L}^{L} = G_{m} ist algebraisch. Es sei c = ξ′_{p}(x). Es gilt ξ(w′) = cξ(w)c^{−1}. Folglich ist F = ξ(w) bis auf Konjugation mit einem Element aus ξ′_{p}(𝔨^{×}) durch ξ′_{p} allein bestimmt.

Wenn wir h durch einen Torus T faktorisieren, definiert es ein Kogewicht μ von T. Obwohl μ selbst von h abhängt und nicht allein von seiner Konjugationsklasse, ist die Bahn von μ unter der Weylgruppe wohldefiniert und unabhängig von h und in einem offensichtlichen Sinn von T. Folglich können wir für eine beliebige Cartanuntergruppe T von G der Shimuravarietät eine Bahn {μ} in X_{∗}(T) zuordnen. Andererseits sind je zwei Punkte y, z aus ℬ(G, 𝔨) in einem Apartment enthalten und z = y + a mit a ∈ X_{∗}(T) ⊗ R. Es ist wiederum a nicht eindeutig bestimmt, sondern nur seine Bahn under der Weylgruppe, die wir mit inv(z, y) bezeichnen.

Die Gruppe G(𝔨) ⋊ Gal(Q_{p}^{un}/Q_{p}) operiert auf 𝒳

g ⋊ σ : (x_{1}, …, x_{r}) → (gσ(x_{1}), …, gσ(x_{r}))

und auch auf dieselbe Weise auf ℬ(G, 𝔨). Es sei X_{p} die Menge der x = (x_{1}, …, x_{r}) aus 𝒳 derart, daß für jedes i

inv (x_{σ(i)}, F x_{i}) = {μ}.

(5.d) Die Menge X_{p} ist nicht leer,

Wir setzen

X_{l} = {x ∈ G(Q̄_{l})|ϕ ∘ ζ_{l} = ad x ∘ ξ_{l}}, l ≠ p.

Da

G(Q_{l}) = {g ∈ G(Q̄_{l})|ad g ∘ ξ_{l} = ξ_{l}},

operiert G(Q_{l}) von rechts auf X_{l} und ist einfach transitiv. Wir wollen ein beschränktes Produkt X^{p} = ∏_{l} X_{l} einführen. Nach [T], §3.9 können wir eine endliche Menge S und für l ∉ S einen hyperspeziellen Punkt x_{l} in ℬ(G, Q_{l}) bestimmen. Weder S noch die x_{l} sind eindeutig bestimmt, aber zwei mögliche Familien von x_{l} sind fast überall gleich. Es wird folglich für jede endliche Erweiterung L′ von Q und fast jede Primstelle v von L eine hyperspezielle Untergruppe K_{v} ausgezeichnet. Es sei ϕ durch q_{ϱ} → g_{ϱ} × ϱ definiert. Dann wird, mit den Bezeichungen des zweiten Abschnitts, ϕ ∘ ζ_{1} durch ϱ → ϕ(e_{ϱ}(l)) · g_{ϱ} ⋊ ϱ definiert, ϱ ∈ Gal(Q̄_{l}/Q_{l}). Wir können aber eine endliche Erweiterung L′ von Q wählen, so daß ϕ(e_{ϱ}) · g_{ϱ} in G(A_{L′}) liegt für jedes ϱ. Folglich liegt ϕ(e_{ϱ}(l)) · g_{ϱ} ∈ ∏_{v/l} K_{v} für fast alle l und jedes ϱ. Der Kozykel {ϕ(e_{ϱ}(l)) · g_{ϱ}} kann dann für fast jedes l in ∏_{v/l} K_{v} berandet werden, was eine ausgezeichnete Untermenge von X_{l} für fast jedes l liefert und dementsprechend ein beschränktes Produkt.

Es sei

I_{ϕ} = {g ∈ G(Q̄)|ad g ∘ ϕ = ϕ}.

Die Gruppe I_{ϕ} operiert auf X_{l}, l ≠ p und auf X^{p}. Es seien

J_{ϕ} = {g ∈ G(Q̄)|ad g ∘ ξ_{p} = ξ_{p}}

und

J′_{ϕ} = {g ∈ G(𝔨)|ad g ∘ ξ′_{p} = ξ′_{p}}.

Die Gruppe J′_{ϕ} operiert auf X_{p}. Wenn ξ′_{p} = ad h ∘ ξ_{p}, bildet g → hgh^{−1} die Gruppen I_{ϕ} und J_{ϕ} in J′_{ϕ} ab. Folglich operiert I_{ϕ} auf X_{p}. Es sei

X_{ϕ}(K) = I_{ϕ}\X_{p} × X^{p}/K^{p}.

Es sei jetzt 𝔭 eine Primstelle von E, dem Reflexkörper der Shimuravarietät

Sh = Sh_{K} = Sh_{K}(G, h).

Wir nehmen an, 𝔭 sei durch die Einbettungen E ⊂ Q̄ ⊂ Q̄_{p} definiert. Die Einbettung Q̄ ⊂ Q̄_{p} kann ja immer so gewählt werden. E ist unverzweigt an der Stelle p. Es sei r = [E_{𝔭} : Q_{p}] und Φ(x_{1}, …, x_{r}) = F^{r}(x_{1}, …, x_{r}). Dann operiert Φ auf X_{p} und auf X_{ϕ}.

Es sei 𝒪_{𝔭} der Ring der ganzzahligen Elemente aus E_{𝔭}. Wir suchen ein Modell von Sh über 𝒪_{𝔭} mit mindestens folgenden Eigenschaften, und wir vermuten, daß es existiert, wenn K^{p} genügend klein ist.

(5.e) Es sei κ der Restklassenkörper von 𝒪_{𝔭} und κ̄ seine algebraisch abgeschlossene Hülle. Dann ist Sh (κ̄) als Menge mit Wirkung des Frobeniuselements isomorph der Vereinigung über Äquivalenzklassen von zulässigen ϕ der Mengen X_{ϕ}(K) mit Wirkung von ϕ.

(5.5) Wenn Sh über E eigentlich ist, dann ist das Modell eigentlich über 𝒪_{𝔭}.

(5.g) Wenn K_{p} hyperspeziell ist [T], ist das Modell über 𝒪_{𝔭} glatt.

Im nächsten Abschnitt werden wir die Ergebnisse des vorigen Abschnitts anwenden, um diese Vermutung zu begründen. In diesem Abschnitt versuchen wir, sie anschaulicher zu machen, und den Übergang zu weiteren Ergebnissen von Kottwitz vorzubereiten. Wir werden ohne weiteres von ihm stammende Begriffe und Ergebnisse benutzen.

Wir fangen mit einem einfachen Beispiel an, das uns erlaubt, die Vorzeichen nachzuprüfen. G sei G_{m}, so daß X_{∗}(G) = Z, und h sei der Homomorphismus (z, w) → zw, so daß μ = 1 ∈ Z. Die entsprechende Varietät Sh ist von der Dimension Null und ihre Punktmenge ist

(5.h) Sh (Q̄) ≅ Q^{×}\I_{f}/K^{p} · K_{p}, I_{f} = A_{f}^{×}.

Wir betrachten nur den fall, daß K_{p} = Z_{p}^{×}. In der Definition von Deligne, die wir benutzen, treten zwei Inverse auf (siehe [D1], §2.2.3), nämlich das Inverse des Reziprozitätsisomorphismus der Klassenkörpertheorie, der selbst das Inverse des herkömmlichen ist. Folglich wirkt das Frobeniuselement auf Sh (Q̄) als a ∈ I_{f} → pa, wobei p als Element aus Q_{p}^{×} aufzufassen ist.

Andererseits nach (5.a) stellt ϕ = ψ_{μ} die einzige zulässige Klasse dar. Wenn wir x ∈ X^{p} wählen, können wir die Abbildung t → xt verwenden, um X^{p} mit I_{f}^{p} zu identifizieren. Es ist ferner I_{ϕ} = Q^{×}. Es sei 𝒪 der Ring der ganzzahligen Elemente aus 𝔨. Dann ist 𝒳 = 𝔨^{×}/𝒪^{×} = Q_{p}^{×}/Z_{p}^{×}.

Der Homomorphismus ψ_{μ} ∘ ζ_{p} ist ξ_{−μ} äquivalent. Da G über Q zerfällt, ist ξ_{−μ} auf 𝒟\begin{matrix}Q & _{p} \\ Q & _{p} \end{matrix} definiert als

z → z^{−1}.

Weil wir das Inverse des herkömmlichen Reziprozitätsisomorphismus nehmen, entspricht p^{−1} dem Frobeniuselement, und p^{−1} wird auf p ⋊ 1 ∈ G(Q_{p}) ⋊ Gal(Q_{p}^{un}/Q_{p}) abgebildet. Folglich schickt F das Element a ∈ 𝔨^{×}(mod 𝒪^{×}) nach pa. Nach dem Vorzeichen, das in [T], Gl. 1.2(1) vorkommt, ist

inv(a, pa) = −ω(p^{−1}) = 1 = μ.

Folglich ist X_{p} = 𝒳 = Q_{p}^{×}/K_{p}, und (5.i) I_{ϕ}\X_{p} × X^{p}/K^{p} ≅ Q^{×}\I_{f}/K^{p} · K_{p}. Die Abbildungen (5.h) und (5.i) definieren eine Identifizierung von I_{ϕ}\X_{p} × X^{p}/K^{p} und Sh(Q̄), unter

der F = Φ der Wirkung des Frobeniuselements entspricht. Wir heben hervor, daß diese Identifizierung keinesweg kanonisch ist.

Es ist klar, daß Sh ein Modell über Z_{p} mit guter Reduktion besitzt, und die Vermutung ist daher in diesem Fall trivial gültig. Im allgemeinen, wenn G ein Torus ist, kann die Vermutung leicht nachgeprüft werden.

𝒳 ist dann T (𝔨)/T (𝒪). Wenn T über der unverzweigten Erweiterung L von Q_{p} zerfällt, sei k = [L : Q_{p}] und σ sei ein Frobeniuselement aus Gal(L/Q_{p}). Die Fundamentalklasse ist a_{i,j} = 1, 0 ≦ i, j ≦ k, i + j < k, a_{i,j} = p^{−1}, 0 ≦ i, j ≦ k, i+j ≧ k und 1×σ ∈ 𝒟_{L}^{L} entspricht dem Urbild in W_{L/Q_{p}} eines Frobeniuselements. Folglich ist F = p^{μ} × σ.

Es ist, wenn ν wie in [T], §1.2 definiert wird,

inv(x, F x) − μ = inv(x, σ(x) + ν(p^{μ})) − μ = inv(x, σ(x)),

woraus leicht folgt, daß

X_{p} ≅ T (Q_{p})/T (Z_{p}).

Es sei r die kleinste Potenz von σ, die μ fixiert. Der Körper E ist über Q_{p} unverzweigt und r = [E : Q_{p}]. Folglich ist

Φ = p^{−ν_{2}} × σ^{r},

wo rechts σ jetzt den Frobeniusautomorphismus von 𝔨/Q_{p} bedeutet, und

−ν_{2} = μ + σμ + … + σ^{r−1}μ.

Daher wirkt Φ aud X_{p} als Verschiebung durch p^{−ν_{2}} ∈ T (Q_{p}), und p^{−ν_{2}} ist nichts als das Bild von p ∈ E^{×} unter dem in [De1], §2.2.3 definierten Homomorphismus NR(μ) : E^{×} → T.

Diese Bemerkungen ermöglichen es, T (Q)\T (A_{f})/K^{p} · K_{p} mit I_{ϕ}\X_{p} × X^{p}/K^{p} zu identifizieren, so daß Φ der Frobeniussubstitution in 𝔭 entspricht, und somit die Vermutung nachzuprüfen.

Es sei T eine Cartanuntergruppe von G, die über Q definiert ist. T sei fundamental, d.h. die Gruppe T_{ad}(R) sei kompakt, wobei T_{ad} das Bild von T in der adjungierten Gruppe G_{ad} ist. Dann können wir h so wählen, daß es durch T faktorisiert und folglich ein Kogewicht μ von T definiert:

h(x, w) = z^{μ}wμ̄.

Es sei ψ_{T,μ} das Kompositum

𝒬 ⟶^{ψ_{μ}} 𝒢_{T} ⫅ 𝒢 = 𝒢_{G}.

Lemma 5.2. ψ_{T,μ} ist zulässig.

Die Bedingungen (5.a) und (5.c) sind klar, sowie auch (5.b), denn die Fundamentalklasse im Unendlichen ist durch a_{ι,ι} = −1 definiert, und folglich ξ_{∞} nach Definiton zu ψ_{μ} ∘ ξ_{∞} äquivalent.

Es sei

ν_{p} = ν_{2} = − ∑_{σ∈Gal(L_{v_{2}} /Q_{p})} σμ.

Es sei P die über Q_{p} definierte parabolische Untergruppe, die T enthält, und deren Wurzeln durch ⟨ν_{p}, α⟩ ≦ 0 definiert wird. Die Gruppe P enthält den Levifaktor J, dessen Wurzeln durch ⟨ν_{p}, α⟩ = 0 definiert sind. Der Körper Q_{p}^{un} zerfällt J.

Wir können annehmen, daß der X_{p} definierende Homomorphismus durch ξ′_{p} = ad h ∘ ξ_{p} definiert wird mit h ∈ T (Q̄_{p}). Dann ist J_{ϕ} ⫅ J(Q̄_{p}) bzw. J′_{ϕ} ⫅ J(𝔨). In der Tat ist J der Zentralisator des Bildes des Kerns von 𝒟, so daß ξ_{p} bzw. ξ′_{p} eine getwistete Form 𝒥_{ϕ} bzw. 𝒥′_{ϕ} von J definiert, und J_{ϕ} bzw. J′_{ϕ} ist die Gruppe der Q_{p}-rationalen Punkte auf dieser getwisteten Form.

Die Bruhat-Tits-Gebäude ℬ(G, 𝔨), ℬ(J, 𝔨) sowie ℬ(G, Q_{p}), ℬ(J, Q_{p}) werden in [T], §2.1 gekennzeichnet. Da J einen maximalen zerfallenden Torus von G enthält, ergibt diese Charakterisierung ein kommutatives Diagramm von Einbettungen (siehe auch [T] §2.6):

ℬ(J, Q_{p}) ⫅ ℬ(G, Q_{p})
∩|| ∩||
ℬ(J, 𝔨) ⫅ ℬ(G, 𝔨).

Wir brauchen auch eine über Q_{p} definierte elliptische Cartanuntergruppe T′ von J, die über 𝔨 zerfällt, und so, daß die maximale kompakte Untergruppe von T′(Q_{p}) in K_{p} enthalten ist. Im Fall (b) ist die zweite Bedingung automatisch erfüllt, und für die Existenz von T′ können wir auf [Kn], S.271 verweisen. Im Fall (a) weisen wir auch darauf hin, sowie auch auf [T], §3.4 und auf SGAD. Es liegen dann x_{1}^{0}, …, x_{r}^{0} im Apartment von T′ (siehe [T], §3.6).

Es sei μ′ ein bezüglich J zu μ konjugiertes Kogewicht von T′. Wir zeigen zunächst, daß wenn F′ mittels ξ_{−μ′} statt ξ_{p} oder des äquivalenten ξ_{−μ}, aber wie F definiert wird, dann gilt (5.j) inv(x_{σ(i)}^{0}, F′x_{i}^{0}) = {μ′} = {μ}. Die Gruppe T′ ist über einer unverzweigten Erweiterung zerfallend. Folglich nach dem, was wir schon

im abelschen Fall ausgerechnet haben, ist F′ = p^{μ′} ⋊ σ und

F′x_{i}^{0} = σ(x_{i}^{0}) − μ′.

Somit wäre (5.j) bewiesen.

Unser Ziel war aber zu zeigen, daß X_{p} nicht leer ist, und dazu genügt es zu zeigen, daß ξ_{−μ} und ξ_{−μ′} als Homomorphismen von 𝒟 nach 𝒢_{J} äquivalent sind, wenn das Bild von T′ in der adjungierten Gruppe von J anisotrop ist, wie wir annehmen können. Das folgt sofort aus den Ergebnissen von Kottwitz [K4] (siehe Anmerkung am Ende des Abschnitts). Wir bezeichnen die Menge der Äquivalenzklassen dieser Homomorphismen mit C(J). Weil das Bild T′ in J_{ad} anisotrop ist, ist

ν′_{p} = − ∑_{σ∈Gal(L_{v}/Q_{p})} σμ′ = ν_{p}

zentral. Dabei wird angenommen, daß L genügend groß ist, damit L_{v_{2}} den Torus T′ zerfällt. Infolgedessen liegen die Klassen von ξ_{−μ} und ξ_{−μ′} in C(J)_{b} ≅ B(J)_{b} (siehe Anmerkung) und werden nach Kottwitz durch Elemente aus X^{∗}(Z(Ĵ)^{Γ(p)}) gekennzeichnet, wobei Γ(p) = Gal(Q_{p}^{un}/Q_{p}) und Z(Ĵ) das Zentrum der Zusammenhangskomponente der L-Gruppe bedeutet. Nach der Definition entspricht ξ_{−μ} dem Charakter z → z^{μ} und ξ_{−μ′} dem Charakter z → z^{μ′}, und diese sind auf Z(Ĵ) gleich. Genauer gesagt, in der von Kottwitz definierten Bijektion steht ein Vorzeichen zur Verfügung. Wir wählen es so, daß ξ_{−μ} dem Charakter z → z^{μ} entspricht.

Wir können jetzt erklären, warum wir angenommen haben, daß G_{der} einfach zusammenhängend ist. Es sei zunächst G beliebig. Dann können wir eine z-Erweiterung G′ im Sinne von Kottwitz [K1] finden und eine Faktorisierung

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} S  ^{h′}  G′ G^{α}^{h}

Wir können auch annehmen ([MS2], §3.4), daß der Reflexkörper E(G′, h′) der Körper E = E(G, h) ist. Es sei A der Kern von α.

Es sei K′ eine offene kompakte Untergruppe von G′(A_{f}) mit α(K′) ⫅ K. Die Abbildung

G′(Q)\G′(A)/K′ → G(Q)\G(A)/K

ist die Einschränkung eines über E definierten Morphismus von Sh_{K′}(G′, h′) nach Sh_{K}(G, h) auf die Menge der komplexwertigen Punkte. Sie ist surjektiv, denn G′(Q_{v}) → G(Q_{v}) ist surjektiv für jede Primstelle von Q. Es folgt aus [T], §3.9.1, daß α(K′) eine Untergruppe von endlichem Index in K ist, und daß wir sogar annehmen können, daß α(K′) ein Normalteiler von K ist.

Dann operiert die endliche Gruppe

B = A(Q)\α^{−1}(K)/K′

von rechts auf Sh_{K′}(G′, h′) und der Quotient ist Sh_{K}(G, h), weil G′(Q) → G(Q) surjektiv ist.

Wir interessieren uns letztendlich für die Kohomologiegruppen gewisser Garben auf Sh_{K}(G, h) (siehe [L1]), die einer Darstellung ξ von G zugeordnet sind. Diese können als die Fixpunkte von B in der Kohomologie der zurückgezogenen durch ξ ∘ α = ξ′ definierten Garben auf Sh_{K′}(G′, h′) erhalten werden. Folglich können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit G′. statt G behandeln.

Nichtsdestoweniger können wir den Begriff eines zulässigen Homomorphismus ϕ : 𝒬 → 𝒢 = 𝒢_{G} einführen. Wir werden später anhand eines Beispiels zeigen, daß die Vermutung, wie sie oben ausgedrückt wurde, in gewissen Fällen nicht gleichzeitig für G und G′ gelten kann. Dafür brauchen wir einen Satz, den wir zunächst beweisen und der ohnehin für den Übergang zur Spurformel wichtig ist. Satz 5.3. Es gelte das Hasseprinzip für G_{sc}. Wenn G über Q_{p} quasi-zerfallend ist, und wenn K_{p} hyperspeziell ist, dann ist jedes zulässige ϕ einem ψ_{T,μ} äquivalent.

Wir beginnen den Beweis mit einem Lemma.

Lemma 5.4. Es gelte das Hasseprinzip für G_{sc}. Es sei G über Q_{p} quasi-zerfallend, und ϕ sei zulässig. Dann ist ϕ einem ϕ′ äquivalent derart, daß ϕ′(δ_{n}) für genügend hohes n in G(Q) liegt.

Wir betrachten ϕ als ϕ : 𝒬(L, m) → 𝒢. Es sei γ_{n} = ϕ(δ_{n}) und es sei g_{ϱ} × ϱ das Bild von q_{ϱ}. Es gilt
γ_{n} = ϕ(δ_{n}) = ϕ(q_{ϱ}δ_{n}q_{ϱ}^{−1}) = g_{ϱ}ϱ(γ_{n})g_{ϱ}^{−1}.

Folglich ist die Konjugationsklasse von γ_{n} rational.

Es sei G^{∗} die quasi-zerfallende Form von G und ψ : G → G^{∗} ein Isomorphismus über Q̄ derart, daß ψ^{−1}σ(ψ) inner ist für jedes σ ∈ Gal(Q̄/Q). Es sei γ_{n}^{∗} = ψ(γ_{n}). Seine Konjugationsklasse ist auch rational. Notfalls ersetzen wir n durch ein Vielfaches von sich selbst, damit die Gruppe C_{γ_{n}^{∗}}, die in Th. 4.7 von [K1] auftritt, trivial ist. Dann erlaubt uns dieser Satz, ϕ durch ad g ∘ ϕ zu ersetzen, so daß γ_{n}^{∗} rational wird.

Lemma 5.5. Die Zariski-abgeschlossene Hülle von {δ_{n}^{k}|k ∈ Z} in Q(L, m) ist Q(L, m).

Diese abgeschlossene Hülle ist eine algebraische Untergruppe von Q(L, m). Wenn es nicht Q(L, m) selbst wäre, gäbe es einen nicht-trivialen Charakter χ_{π} von Q(L, m) mit

1 = χ_{π}(δ_{n}) = π^{\frac{n}{m}} .

Folglich ist π eine Einheitswurzel, und χ_{π} = 1, was ein Widerspruch ist.

Der Einfachheit halber benutzen wir ψ, um G und G^{∗} zu identifizieren. Dann ist die Wirkung der Galoisgruppe auf G^{∗} durch

σ^{∗}(g) = b_{σ}σ(g)b_{σ}^{−1}

definiert, wobei b_{σ} ∈ G(Q̄) und b_{ϱ}ϱ(b_{σ})b_{ϱσ}^{−1} ∈ Z(Q̄), wenn Z das Zentrum von G bedeutet. Es sei I^{∗} der Zentralisator von γ_{n}^{∗} in G^{∗}. Es ist auch der Zentralisator von ϕ(Q(L, m)).

Wir setzen

g_{ϱ} = h_{ϱ}b_{ϱ}.

Dann ist

γ_{n}^{∗} = γ_{n} = g_{ϱ}ϱ(γ_{n})g_{ϱ}^{−1} = h_{ϱ}b_{ϱ}ϱ(γ_{n})b_{ϱ}^{−1}h_{ϱ}^{−1} = h_{ϱ}ϱ^{∗}(γ_{n}^{∗})h_{ϱ}^{−1} = h_{ϱ}γ_{n}^{∗}h_{ϱ}^{−1}

und h_{ϱ} ∈ I^{∗}.

Wir zeigen zunächst, daß h_{ϱ}ϱ^{∗}(h_{σ})h_{ϱσ}^{−1} im Zentrum von I^{∗} liegt, so daß {h_{ϱ}} eine Form I′ von I^{∗} definiert, auf der die Galoisgruppe gemäß den Gleichungen

σ′(h) = h_{σ}σ^{∗}(h)h_{σ}^{−1}

wirkt. Es gilt nähmlich

h_{ϱ}ϱ^{∗}(h_{σ})h_{ϱσ}^{−1} = h_{ϱ}b_{ϱ}ϱ(h_{σ})b_{ϱ}^{−1}h_{ρσ}^{−1} = g_{ϱ}ϱ(g_{σ})ϱ(b_{σ}^{−1})b_{ϱ}^{−1}h_{ϱσ}^{−1}.

Da

z = b_{ϱσ}ϱ(b_{σ}^{−1})b_{ϱ}^{−1} ∈ Z(Q̄),

ist das letzte Glied dieser Gleichung gleich

g_{ϱ}ϱ(g_{σ})b_{ϱσ}^{−1}h_{ϱσ}^{−1}z = g_{ϱ}ϱ(g_{σ})g_{ϱσ}^{−1}z = ϕ(g_{ϱ,σ})z,

und folglich liegt es im Zentrum von I^{∗}.

Nach [K1], Lemma 3.3, können wir annehmen, daß I^{∗} quasi-zerfallend ist. Da I′ eine Cartanuntergruppe über Q enthält, gibt es eine über Q definierte Cartanuntergruppe T^{∗} von I^{∗} und ein h ∈ I^{∗}, so daß hh_{ϱ}ϱ^{∗}(h^{−1}) ∈ T^{∗} für jedes ϱ. Wir ersetzen ϕ durch adh ∘ ϕ und nehmen an, daß h_{ϱ} ∈ T^{∗}.

Wir zeigen zunächst, daß T^{∗}, das auch eine Cartanuntergruppe von G^{∗} ist, in der Gruppe G vorkommt (im Sinne von [L3]). Das bedeutet, daß es ein g ∈ G(Q̄) gibt, so daß

σ^{∗}(t) = g^{−1}(σ(gtg^{−1}))g, t ∈ T^{∗}.

Dann ist gT^{∗}g^{−1} eine über Q definierte Cartanuntergruppe T von G. Wir ersetzen ϕ durch ad g ∘ ϕ und folglich γ_{n} durch gγ_{n}g^{−1}, das in T (Q) liegt, weil γ_{n} in T^{∗}(Q) liegt. Somit wäre Lemma 5.4 bewiesen.

Um zu zeigen, daß T^{∗} in G vorkommt, brauchen wir eine Folge der Betrachtungen von [L3].

Lemma 5.6. Es gelte das Hasseprinzip für G_{sc}. Wenn die Cartanuntergruppe T^{∗} überall lokal in G vorkommt, und wenn T_{ad}^{∗} in mindestens einer Stelle von Q anisotrop ist, dann kommt T^{∗} in G global vor.

In [L3] (siehe Lemma 7.15) ist ein Hindernis eingeführt, dessen Verschwinden notwendig und hinreichend ist, damit T^{∗} in G vorkommt. Das Hindernis liegt in H^{−1}(Gal(L/Q), X_{∗}(T_{sc}^{∗})) modulo

⨁_{v} ξ_{v}(H^{−1}(Gal(L_{v}/Q_{v}), X_{∗}(T_{sc}^{∗})),

wobei ξ_{v} die natürliche Abbildung von H^{−1}(Gal(L_{v}/Q_{v}), X_{∗}(T_{sc}^{∗})) nach H^{−1}(Gal(L/Q), X_{∗}(T_{sc}^{∗})) bezeichnet. Wenn aber T_{ad}^{∗} in der Stelle v anisotrop ist, dann ist ξ_{v} offensichtlich surjektiv, und das Hindernis ohne weiteres Null.

Wir wenden Lemma 5.6 auf unser T^{∗} an. Daß es über Q_{p} vorkommt, ist klar, denn G ist nach Voraussetzung über Q_{p} quasi-zerfallend. Im Unendlichen erhält man die Twistung I′, indem man ξ_{∞} auf I^{∗} einschränkt. Folglich ist I′ in der Gruppe G′ von Lemma 5.1 enthalten. Weil T^{∗} eine Cartanuntergruppe von I′ ist, folgt es aus jenem Lemma, daß T_{ad}^{∗} anisotrop über R ist. Somit kommt es in G vor.

Nach Voraussetzung ist σ → e_{σ}(l)g_{σ} ⋊ σ = a_{σ} ⋊ σ, σ ∈ Gal(L_{l}/Q_{l}) zu der kanonischen Neutralisierung von 𝒢 äquivalent. Folglich definiert σ_{1} : g → a_{σ}σ(g)a_{σ}^{−1} eine Form von G, die zu G isomorph ist. Aber e_{σ}(l) liegt in ϕ(Q(L, m)), das im Zentrum von I^{∗} enthalten ist. Für t ∈ T^{∗} gilt also

σ_{1}(t) = σ^{∗}(t),

und T^{∗} kommt über Q_{l} in G vor.

Wir kehren jetzt zum Satz 5.3 zurück, dabei weiter annehmend, daß γ_{n} = ϕ(δ_{n}) rational ist für genügend hohes n. Der Zentralisator von γ_{n} sie ℐ. Wenn wir n durch ein zweckmäßiges Vielfaches ersetzen, können wir annehmen, daß ℐ zusammenhängend ist. Der Homomorphismus ϕ definiert eine Twistung ℐ_{ϕ} von ℐ und ℐ_{ϕ}(Q) = I_{ϕ}.

Es ist ϕ(q_{ϱ}) = g_{ϱ} ⋊ ϱ, wo g_{ϱ} jetzt in ℐ liegt, weil γ_{n} rational ist. Wir brauchen einen über Q definierten Torus T aus ℐ und ein a ∈ I(Q̄) derart, daß ag_{ϱ}ϱ(a)^{−1} ∈ T für jedes ϱ. Dann können wir ϕ durch ada ∘ ϕ ersetzen und annehmen, daß

(5.k) g_{ϱ}ϱ(t)g_{ϱ}^{−1} = ϱ(t)

für jedes ϱ und jedes t ∈ T (Q̄). Somit wird T ein über Q definierter Torus auch von ℐ_{ϕ}.

Die Gruppe ℐ erfüllt mit G das Hasseprinzip. Wir können daher das folgende Lemma auf ℐ anwenden, um T zu bekommen. Obwohl das Lemma wohlbekannt sein muß, haben wir keinen Hinweis auf die Literatur.

Lemma 5.7. Es gelte das Hasseprinzip für G und es sei ψ_{1} : G → G_{1} ein über Q̄ definierter Isomorphismus derart, daß ψ_{1}^{−1}σ(ψ_{1}) inner ist. Dann existieren Cartanuntergruppen T und T_{1} von G und G_{1}, beide über Q definiert, und ein g ∈ G_{1}(Q̄), so daß adg ∘ ψ_{1} die Gruppe T auf T_{1} abbildet und als Isomorphismus zwischen T und T_{1} über Q definiert ist.

Die Gruppe G_{1} ist eine innere Form von G^{∗}, und das Lemma besagt die Existenz einer Cartanuntergruppe T^{∗}, die in G und in G_{1} vorkommt. Es ist eine Folge von Lemma 5.6 und den folgenden drei Lemmata, die wir auf G und G_{1} anwenden.

Lemma 5.8. ([Sh], Corollary 2.9). Wenn T^{∗} fundamental in G^{∗} über R ist, dann kommt es lokal im Unendlichen in G vor.

Lemma 5.9. Es seien v eine endliche Stelle von Q und T^{∗} eine Cartanuntergruppe von G^{∗} über Q_{v} mit T_{ad}^{∗} isotrop. Dann kommt T in G vor.

Es sei N der Kern von G_{sc}^{∗} → G_{ad}^{∗}. Das Lemma ist eine wohlbekannte Folge der Existenz einer Bijektion: H^{1}(Q_{p}, G_{ad}^{∗}) → H^{2}(Q_{p}, N) (siehe [Kn], Satz 2) und der exakten Sequenz

H^{1}(Q_{p}, T_{ad}^{∗}) → H^{2}(Q_{p}, N) → H^{2}(Q_{p}, T_{sc}^{∗}) = 0.

Für die Existenz derartiger T^{∗} verweisen wir auf [Kn], S.271.

Lemma 5.10. Es sei S eine endliche Menge von Primstellen von Q, und es sei für jedes v ∈ S eine Cartanunergruppe T_{v}^{∗} von G^{∗} über Q_{v} gegeben. Dann existiert eine über Q definierte Cartanuntergruppe T^{∗} von G^{∗}, die für jedes v ∈ S über Q_{v} zu der Gruppe T_{v}^{∗} konjugiert ist.

Es folgt leicht aus der Bruhat-Zerlegung, daß die Varietät G_{sc}^{∗} rational ist. Folglich gilt für G_{sc}^{∗} der schwache Approximationssatz, woraus wir das Lemma sofort schließen, indem wir ein Produkt ∏_{v} t_{v} von regulären Elementen aus T_{v}(Q_{v}) approximieren.

Der Torus T, für den (5.k) gilt, ist auch eine über Q definierte Cartanuntergruppe von G. Aus Lemma 5.1 und Annahme (5.a) folgt, daß T_{ad} über R anisotrop ist. Wir können daher h so wählen, daß es sich durch T faktorisieren läßt:

h(z, w) = z^{μ_{h}}wμ̄_{h}.

Lemma 5.11. Es gibt ein μ in der Bahn von μ_{h} unter der Weylgruppe, so daß auf dem Kern ϕ und ψ_{T,μ} gleich sind, und so daß

ϕ(q_{σ}) = b_{σ}ψ_{T,μ}(q_{σ}),

wobei {b_{σ}} ein 1-Kozyklus mit Werten aus T ist.

Wir heben hervor, daß ψ_{T,μ} möglicherweise nicht zulässig ist, denn μ ist vielleicht kein μ_{h}. Die Einschränkung von ϕ auf Q(L, m) bildet Q(L, m) in T ab und ist über Q definiert. Wir können annehmen, indem wir Q(L, m) durch Q(L, n) ersetzen, daß n = m. Es sei ν_{p} = ϕ(ν_{2}) ein Kogewicht von T. Es genügt zu zeigen, daß es ein μ in der Bahn von μ_{h} gibt, so daß

(5.l) Nm_{L_{p}/Q_{p}}μ = −ν_{p}, denn

| ∏_{σ∈Gal(L_{p}/Q_{p})} σλ(γ_{m})|_{p} = | ∏_{σ∈Gal(L_{p}/Q_{p})} σϕ^{∗}(λ)(δ_{m})|_{p}

= | ∏_{σ∈Gal(L_{p}/Q_{p})} σπ_{λ}|_{p}

= q^{⟨ν_{2},χ_{π_{λ}} ⟩}.

Folglich ist nach der Definition ψ_{T,μ} auf Q(L, m) durch δ_{m} → γ_{m} definiert.

Die Existenz von μ werden wir aus der Tatsache schließen, daß X_{p} nicht leer ist. Den Homomorphismus ξ_{p} = ϕ ∘ ζ_{p} müssen wir durch ξ′_{p} = adu ∘ ξ_{p} ersetzen, um F zu definieren. Wir können annehmen, daß u ∈ T.

Es sei L eine endliche unverzweigte Erweiterung von Q_{p}, so daß ξ′_{p} auf 𝒟_{L}^{L} definiert ist, und es sei

ξ′_{p}(d_{σ}) = g_{σ} ⋊ σ,

wobei σ das Frobeniuselement aus Gal(L/Q_{p}) ist. Dem Homomorphismus ξ′_{p} haben wir eine parabolische Untergruppe P und einen Levifaktor J zugeordnet. Es sei M der Zentralisator eines maximalen zerfallenden Untertorus von T. Die Gruppe M ist ein Levifaktor einer in P enthaltenen, über Q_{p} definierten parabolischen Untergruppe Q von G. Die Gruppe M ist quasi-zerfallend.

Wir haben schon gesehen, daß wir das Gebäude ℬ(M, 𝔨) in ℬ(G, 𝔨) einbetten können, und zwar so, daß der K_{p} definierende Punkt x^{0} in ℬ(M, 𝔨) enthalten ist. Wir können sogar annehmen, daß x^{0} in dem Apartment zu einer über Q_{p} definierten und über 𝔨 zerfallenden Cartanuntergruppe T′ von M enthalten ist. Ein Punkt x ∈ X_{p} kann als x = hx^{0} geschrieben werden mit h = nm aus Q(𝔨). Der Punkt m liegt in M(𝔨) und n im unipotenten Radikal von Q. Dann ist

(5.m) inv (x, F x) = inv (hx^{0}, g_{σ}σ(h)x^{0}) = inv (x^{0}, h^{−1}g_{σ}σ(h)x^{0}), denn σ(x^{0}) = x^{0}.

Es sei {μ′} die Bahn in X_{∗}(T′), die μ′ entspricht. Es sei t_{μ′} durch
χ(t_{μ′}) = p^{⟨χ,μ′⟩}, χ ∈ X^{∗}(T′),

definiert, und es sei f_{μ′} die charakteristische Funktion der Doppelklasse K_{0}t_{μ′}K_{0}, wobei K_{0} den Stabilisator von x^{0} in G(𝔨) bedeutet. Aus (5.m) folgt

f_{μ′}(m^{−1}g_{σ}σ(m)n′) = 1

mit

n′ = σ(m)^{−1}g_{σ}^{−1}n^{−1}g_{σ}σ(n)σ(m)

im unipotenten Radikal von Q.

Es gibt ein μ′′ ∈ X_{∗}(T′), so daß

m^{−1}g_{σ}σ(m) ∈ (K_{0} ∩ M)t_{μ′′}(K_{0} ∩ M).

Aus Lemmata 2.3.3 und 2.3.9 von [K3] folgt leicht, daß μ′′ in der Bahn von μ′ liegt, denn μ′ ist ein “winziges Gewicht”.

Wenn λ der in Lemma 3.3 von [K3] eingeführte Homomorphismus M(𝔨) → X^{∗}(Z(M̂)^{Γ}) ist, ist λ(m^{−1}g_{σ}σ(m)) daher die Einschränkung von μ′′ auf Z(M̂)^{Γ}.

Die Definition von [K3] ist eigentlich nur für endliche Erweiterungen von Q_{p} eingenführt. Sie kann aber offensichtlich auf M(𝔨) erweitert werden.

Die Gleichung (5.1) gilt dann und nur dann, wenn

(5.n) [L_{p} : Q_{p}]⟨μ, χ⟩ = −⟨ν_{p}, χ⟩ für jedes über Q_{p} definierte Gewicht χ von T. So ein Gewicht kann als Gewicht von M aufgefaßt werden, und, wenn μ ein Gewicht von T ist, das zu μ′′ in M konjugiert ist, gilt

⟨μ, χ⟩ = ⟨μ′′, χ⟩.

Es ist ferner μ in der Bahn von μ_{h} bezüglich der Weylgruppe von G.

Nach der Definition von λ gilt

|χ(m^{−1}g_{σ}σ(m))| = p^{−⟨μ′′,χ⟩}.

Weil χ über Q_{p} definiert ist, ist

χ(m^{−1}g_{σ}σ(m))^{l} = χ(m^{−1}g_{σ}σ(g_{σ}) ⋯ σ^{l−1}(g_{σ})σ^{l}(m)),

I = [L_{p} : Q_{p}], und

p^{−l⟨μ′′,χ⟩} = |χ(m^{−1}g_{σ}σ(g_{σ}) ⋯ σ^{l−1}(g_{σ})σ^{l}(m))|.

Nach der Definition ist

g_{σ}σ(g_{σ}) … σ^{l−1}(g_{σ}) = ξ′_{p}(p^{−1}) = p^{−ν_{p}},

und

|χ(p^{−ν_{p}})| = p^{⟨ν_{p},χ⟩}.

Da

|χ(m)| = |χ(σ^{l}(m))|,

haben wir (5.n) bewiesen.

Der Satz 5.3 ist noch nicht bewiesen. Als nächste Annäherung beweisen wir folgendes Lemma.

Lemma 5.12. Es gibt ein über Q definiertes T′ mit T′_{ad} anisotrop über R und ein h′, das durch T′ faktorisiert, so daß ϕ einem ϕ′ derart äquivalent ist, daß ϕ′ = ψ_{T,μ′_{h′}} auf dem Kern von 𝒢 und

ϕ′(q_{σ}) = b_{σ}ψ_{T′,μ_{h′}} (q_{σ}),

wobei {b_{σ}} ein 1-Kozyklus mit Werten aus T′ ist.

Es sei μ = ω · μ_{h}, mit ω in der Weylgruppe. Dann definiert 1 → 1, ι → (−1)^{ωμ−μ} einen 1-Kozyklus α^{∞} von Gal(L_{∞}/Q_{∞}) mit Werten aus T_{sc}(C), wobei angenommen wird, daß L_{∞} = C. Es gibt ein w im Normalisator von T_{sc} in G_{sc}(C), daß ω repräsentiert, und für das gilt

α_{σ}^{∞} = wσ(w^{−1}), σ ∈ Gal(L_{∞}/Q_{∞}),

(siehe [Sh], Prop. 4.2).

Dem Lemma 7.16 von [L3] zufolge gibt es einen globalen Kozyklus α mit Werten aus T_{sc}, der im Unendlichen zu α^{∞} äquivalent ist. Wir können sogar annehmen, indem wir α^{∞} und w zweckmäßig abändern, daß α^{∞} die Einschränkung von α auf Gal(L_{∞}/Q_{∞}) ist. Das Bild von α^{∞} in H^{1}(Q_{∞}, G_{sc}) ist trivial. Aus dem Hasseprinzip folgern wir, daß α die triviale Klasse in H^{1}(Q, G_{sc}) definiert. Es sei

α_{σ} = u^{−1}σ(u), u ∈ G_{sc}(Q̄).

Der Torus T′ = uT u^{−1} und der Homomorphismus t → t′ = utu^{−1} sind beide über Q definiert. Wir ersetzen ϕ durch ϕ′ = ad u ∘ ϕ und folglich γ_{n} durch γ′_{n} = uγ_{n}u^{−1}. Es sei μ′ das μ entsprechende Kogewicht von T′. Der Homomorphismus ψ_{T′,μ′} ist definiert und ψ_{T′,μ′} = ϕ′ auf dem Kern. Es gilt ferner

ϕ′(g_{σ}) = b′_{σ}ψ_{T′,μ′}(q_{σ}), b′_{σ} ∈ T′.

Es kommt also darauf an, zu zeigen, daß μ′ = μ_{h′}, wobei h′ noch zu definieren ist.

Es gilt

u^{−1}σ(u) = wσ(w^{−1}), σ ∈ Gal(L_{∞}/Q_{∞}).

Folglich ist uw ∈ G_{sc}(R). Es sei h′ = ad uw ∘ h. Dann ist

μ_{h′} = ad u ∘ μ = μ′.

Bis jetzt haben wir die Voraussetzung G_{der} = G_{sc} nicht gebraucht. Alle Lemmata gelten also ohne sie. Im letzten Schritt wird sie gebraucht. Dem vorigen Lemma zufolge ersetzen wir ϕ, T, μ durch ϕ′, T′, μ′ = μ_{h′}.

Der Kozyklus {b′_{σ}} nimmt Werte in T und deshalb in G. Da ϕ zulässig ist, stellt das Bild von {b_{σ}} in G_{ab} die triviale Klasse dar. Wir können daher annehmen, daß b_{σ} ∈ T_{sc}(Q̄).

Das nächste Lemma ist eine Bemerkung aus [De1].

Lemma 5.13. Es sei G_{sc} = G_{der}, und G_{sc} erfülle das Hasseprinzip. Dann gilt das Hasseprinzip für das Bild von H^{1}(Q, G_{sc}) in H^{1}(Q, G).

Wir haben ein Diagramm mit exakten Folgen

H^{0}(Q, G_{ab}) ⟶ H^{1}(Q, G_{sc}) ⟶ H^{1}(Q, G)
↓ ↓ ↓
H^{0}(R, G_{ab}) ⟶ H^{1}(R, G_{sc}) ⟶ H^{1}(R, G).

Darüber hinaus ist das Bild von H^{0}(Q, G_{ab}) in H^{0}(R, G_{ab}) dicht, und ein 1-Kozykel mit Werten aus einer kleinen Umgebung des Einselements in G_{sc}(C) ein Rand. Somit folgt das Lemma.

Lemma 5.14. Es sei G′ eine zusammenhängende reduktive Gruppe über R mit G′_{ad}(R) kompakt, und es sei T′ eine Cartanuntergruppe von G′. Dann ist H^{1}(R, T′) → H^{1}(R, G′) injektiv

Es sei {t_{σ}} ein Kozykel mit Werten aus T′, der in G′ ein Rand ist

t_{σ} = g^{−1}σ(g).

Dann ist gT′g^{−1} auch eine Cartanuntergruppe über R. Da alle Cartanuntergruppen über R unter G(R) konjugiert sind, können wir annehmen, daß T′ = gT′g^{−1}. Dann definiert g ein Element aus der Weylgruppe, das auch mittels eines Elementes aus G(R) definiert werden kann. Folglich ist {t_{σ}} ein Rand in T (C).

Der Satz 5.3 ist noch nicht bewiesen, aber wir sind so weit, daß ϕ als ein Produkt des Kozyklus {b_{σ}} und ψ_{T,μ} geschrieben ist. Insbesondere

\begin{aligned}ϕ(q_{σ}) & = g_{σ} ⋊ σ, \\ ψ_{T,μ}(q_{σ}) & = h_{σ} ⋊ σ, \\ g_{σ} & = h_{σ}b_{σ}, \end{aligned}

mit h_{σ}, b_{σ} aus T.

Der Voraussetzung (5.b) zufolge gilt für σ ∈ Gal(L_{∞}/Q_{∞})

g_{σ} ⋊ σ = u(h_{σ} ⋊ σ)u^{−1}

mit u ∈ G(L_{∞}). Folglich ist die Einschränkung von {b_{σ}} auf Gal(L_{∞}/Q_{∞}) in der getwisteten Gruppe G′ trivial und daher schon in T trivial. Aus Lemma 5.13 schließen wir, daß es ein v ∈ G(L) gibt, so daß

b_{σ} = vσ(v^{−1}), σ ∈ Gal(L/Q).

Dann ist

(5.o) v^{−1}(g_{σ} ⋊ σ)v = v^{−1}(h_{σ}b_{σ} ⋊ σ)v = v^{−1}h_{σ}v ⋊ σ. Aber der Isomorphismus t → v^{−1}tv ist ein über Q definierter Isomorphismus zwischen den zwei über Q definierten Tori T und T′ = v^{−1}T v, und wenn μ′ das Bild von μ ist, folgt aus (5.o)

ad v^{−1} ∘ ϕ = ψ_{T′,μ′}.

Somit ist Satz 5.3 bewiesen.

Noch nicht veröffentliche Ergebnisse von Kottwitz zeigen, wenigstens im Fall einer anisotropen Gruppe G, wie man die lokale Zetafunktion anhand einer guten Aufzählung der Punkte auf der reduzierten Varietät mittels teils bewiesener, teils unbewiesener Sätze aus der harmonischen Analyse berechnen kann. Die erwünschete Aufzählung, die in Satz 5.21 und Satz 5.25 steht, ergibt sich aus der oben vermuteten Beschreibung, aber nicht ohne weitere Mühe, und der Zweck des übrigen Teils dieses Abschnitts ist es, die dazu nötigen Betrachtungen darzulegen. Wir beginnen mit der Definition einer von Kottwitz eingeführten Invarianten, die wir brauchen werden, und die wir die Kottwitz’sche (oder kürzer (K−))Invariante nennen werden.

Die Shimuravarietät entspricht einer Gruppe G und einer Klasse X_{∞}. Es wird immer noch vorausgesetzt, daß G_{der} einfach-zusammenhängend ist. Es ist der Zweck von [K3] und anderen Arbeiten, die alternierende Summe der Spuren auf zweckmäßigen Kohomologiegruppen eines Produkts einer Potenz des Frobenius an der Stelle 𝔭 von E mit einem Hecke-Operator zu bestimmen. Die Betrachtungen von [K3] wollen wir nicht wiederholen und weitere Betrachtungen von Kottwitz wollen wir nicht vorwegnehmen. Wir bemerken nur, der Verständlichkeit halber, daß wenn es sich um die m^{te} Potenz des Frobenius handelt, dann ist die natürliche Zahl n, die wir jetzt festlegen, gleich mr, r = [E_{𝔭} : Q_{p}]. Es sei L_{n} ⊂ Q̄_{p} die unverzweigte Erweiterung von Q_{p} vom Grad n.

Es seien gegeben ein halb-einfaches Element ε aus G(Q), ein γ = (γ(l))_{l≠p}, γ(l) ∈ G(Q_{l}), und ein δ ∈ G(L_{n}). Die K-Invariante wird dem Tripel (γ, δ; ε) zugeordnet. Es sei G(ε) der Zentralisator von ε in G. Er ist zusammenhängend, weil G_{der} einfachzusammenhängend ist. Kottwitz bezeichnet die Zusammenhangskomponenten der L-Gruppen von G und G(ε) mit Ĝ und Ĝ(ε) und ihre Zentren mit Z(Ĝ) und Z(Ĝ(ε)). Die globale Galoisgruppe Gal(Q̄/Q) bezeichnet er mit Γ und die lokale Galoisgruppe an der Stelle v mit Γ(v). Wir übernehmen diese Bezeichnungen und verkürzen Z(Ĝ) bzw. Z(Ĝ(ε)) zu Z bzw. Z(ε). Kottwitz betrachtet auch die Gruppe (Z(ε)/Z)^{Γ} der Γ-invarianten Elemente im Quotienten Z(ε)/Z sowie die Gruppe π_{0}((Z(ε)/Z)^{Γ}) ihrer Zusammenhangskomponenten und deren duale Gruppe X. Wir bemerken, daß Z(ε)/Z = Z(Ĥ) und Ĝ(ε)/Z = H, wobei H = G(ε) ∩ G_{der}. Für jede Stelle v sei Y_{v} die Gruppe derjenigen Charaktere von π_{0}((Z(ε)/Z)^{Γ(v)}), die trivial auf π_{0}(Z(ε)^{Γ(v)}) sind und X_{v} ihr Bild in X. Die dem Tripel zugeordnete Invariante κ(γ, δ; ε) = κ(γ, δ) wird in der Gruppe X/ ∏_{v} X_{v} liegen. Das ist die Gruppe 𝔎(I_{0}/F)^{D}, die in der Formel (6.5.1) von [K5] vorkommt.

Um κ(γ, δ) zu definieren, müssen wir (γ, δ; ε) einige Bedingungen auferlegen. Zunächst fordern wir:

(i) ε ist in G(R) elliptisch.

(ii) Für jedes l ≠ p sind γ(l) und ε stabil konjugiert. Da G_{der} einfach-zusammenhängend ist, bedeutet das, daß ε und γ(l) in G(Q̄_{l}) konjugiert sind. Für fast jedes l sollen ε und γ(l) in G(Q_{l}) konjugiert sein.

(iii) Wenn σ das Frobeniuselement aus Gal(Q_{p}^{un}/Q_{p}) bezeichnet und

N_{L_{n}/Q_{p}}δ = δσ(δ) ⋯ σ^{n−1}(δ),

so soll N_{L_{n}/Q_{p}}δ in G(Q̄_{p}) zu dem Element ε konjugiert sein.

Jedes h ∈ X_{∞} kann geschrieben werden als

h(z, w) = z^{μ_{h}}wμ̄_{h} = z^{μ}wμ̄.

Es sei ℳC die μ enthaltende Konjugationsklasse von Homomorphismen von G_{m} nach G. Sie hängt nur von X_{∞} ab und nicht von h, und definiert auch ℳQ^{}¯ sowie ℳQ_{p}^{}¯ , denn wir haben Q̄ in C und Q̄_{p} eigenbettet.

Alle Elemente aus ℳQ^{}_{¯ p} (oder ℳ_{C}) definieren ein und denselben Homomorphismus μ_{2} in

Hom(G_{m}, G_{ab}) = X^{∗}(Z).

Anderersites definiert δ offensichtlich ein Element der in [K4] eingeführten Menge B(G_{ab}) und folglich nach dem dort bewiesenen Satz ein Element aus X^{∗}(Z^{Γ(p)}), wobei hervorzuheben ist, daß Z = Ĝ_{ab}. An δ stellen wir folgende Bedingung.

( ∗ (δ)) Das von δ definierte Element aus X^{∗}(Z^{Γ(p)}) ist die Einschränkung von μ_{2}.

Die zweite Bedingung ist eine Forderung an ε. Es sei M = M(ε) der Zentralisator in G des maximalen über Q_{p} zerfallenen Torus im Zentrum von G(ε). Wenn μ : G_{m} → M, dann läßt sich μ durch wenigstens eine Cartanuntergruppe T faktorisieren und definiert daher ein Element aus X_{∗}(T), dessen Konjugationsklasse wohlbestimmt ist. Für eine beliebige Cartanuntergruppe T̂ von M̂ definiert μ also eine Bahn unter der Weylgruppe von M in X^{∗}(T̂) und schließlich ein wohlbestimmtes Element μ_{1} ∈ X^{∗}(Z(M̂)), das weder von T noch von T̂ abhängt. Da G über einer unverzweigten Erweiterung von Q_{p} zerfällt, so auch M, und der in [K3], §3 definierte Homomorphismus λ = λ_{M} : M(Q_{p}) → X^{∗}(Z(M̂))^{Γ(p)} steht zur Verfügung.

Die zweite Bedingung lautet:

( ∗ (ε)) Es existiert ein μ : G_{m} → M, das über L_{n} definiert ist, das mittels der Einbettung M ⫅ G ein Element aus ℳQ^{}_{¯ p} definiert, und so daß die Gleichung

λ(ε) = Nm_{L_{n}/Q_{p}}μ_{1}

gilt.

Die Invariante κ(γ, δ; ε) wird als ein Charakter auf dem Urbild U von (Z(ε)/Z)^{Γ} in Z(ε) definiert und zwar als ein Produkt

(5.p) κ(γ, δ; ε) = ∏_{v} β(v).

Dabei ist β(v) die Einschränkung auf U eines Charakters β′(v) des Urbilds U_{v} von (Z(ε)/Z)^{Γ(v)}. Fast alle β′(v) sind trivial, und das Produkt ist auf Z trivial.

Für v = l ≠ p sind ε und γ_{l} stabil konjugiert. Folglich gibt es ein c ∈ G(Q̄_{l}), so daß

γ_{l} = cεc^{−1},

und {b_{σ}} = {c^{−1}σ(c)} ist ein 1-Kozykel von Γ(v) mit Werten aus G(ε). Nach [K2], Prop. 6.4, definiert er ein Element aus π_{0}((Z(ε)^{Γ(v)})^{D}. Da das Bild des Kozykels in G_{ad} trivial ist, ist dieses Element trivial auf π_{0}(Ĝ_{ab}^{Γ(v)}) = π_{0}(Z^{Γ(v)}), und definiert daher einen Charakter von π_{0}(Z(ε)^{Γ(v)})/π_{0}(Z^{Γ(v)}), den wir auf π_{0}((Z(ε)/Z)^{Γ(v)}) erweitern können, wenn wir bemerken, daß die Zusammenhangskomponente von (Z(ε)/Z)^{Γ(v)} das Bild der Zusammenhangskomponente von Z(ε)^{Γ(v)} ist. Indem wir den so erhaltenen Charakter von U_{v} hochheben, bekommen wir β′(v). Es ist auf Z trivial.

An der Stelle p gilt

Nm_{L_{n}/Q_{p}}δ = cεc^{−1},

wobei c ein Element aus G mit Koeffizienten in Q̄_{p} ist. Nach dem Satz von Steinberg können wir annehmen, daß c ∈ G(Q_{p}^{un}). Es gilt

δ^{−1}cεc^{−1}δ = σ(δ) ⋯ σ^{n}(δ) = σ(cεc^{−1}) = σ(c)εσ(c^{−1}).

Folglich ist b = c^{−1}δσ(c) mit ε vertauschbar und definiert (mit der Bezeichnung von [K4]) ein Element aus B(G(ε)), das nur von ε und δ abhängt.

Lemma 5.15. b ist wesentlich (basic) im Sinne von [K4].

Es sei n′ durch n teilbar, n′ = kn. Dann ist

bσ(b) ⋯ σ^{n−1}(b) = εc^{−1}σ^{n}(c),

so daß erstens c^{−1}σ^{n}(c) ∈ G(ε), und zweitens

bσ(b) ⋯ σ^{n′−1}(b) = ε^{k}c^{−1}σ^{n′}(c).

Nach den Definitionen ([K4], §4) muß gezeigt werden, daß für n′ genügend hoch es einen Homomorphismus ν′ von G_{m} nach dem Zentrum von G(ε) gibt, so daß

ε^{k}c^{−1}σ^{n′}(c) = ν′(p)d^{−1}σ^{n′}(d),

mit d ∈ G(𝔨, ε). Es sei T eine Cartanuntergruppe von G(ε) über Q_{p}. Es sei

|λ(ε)|_{p}^{k} = p^{−ν′(λ)}, λ ∈ X^{∗}(T).

Wenn k genügend hoch ist, ist ν′(λ) ∈ Z für jedes λ ∈ X^{∗}(T) und folglich ν′ ∈ X_{∗}(T). Es ist klar, daß ν′ unter der Galoisgruppe invariant ist. Es ist daher ν′ : x → x^{ν′} ein über Q_{p} definierter Homomorphismus von G_{m} nach dem Zentrum von G(ε). Für n′ hoch ist c^{−1}σ^{n′}(c) in einer vorgegebenen Umgebung von 1 enthalten. Da die Eigenwerte von ν′(p)^{−1}ε^{k} Einheiten sind, können wir k durch ein hohes Vielfaches ak ersetzen, und ν′ durch aν′, und annehmen, daß

ε^{k}c^{−1}σ^{n′}(c) = ν′(p) · e,

wobei e in einer vorgegebenen Umgebung V von 1 in G(𝔨, ε) liegt. Aber wie bei dem Beweis von [K3], Lemma 1.4.9, implizit bemerkt wird, gibt es ein V, so daß für jede natürliche Zahl n′ gilt V ⫅ {xσ^{n′}(x)^{−1}|x ∈ G(𝔨, ε)}.

Es sei α(p) das im Sinne von [K4] b entsprechende Element aus X^{∗}(Z(ε)^{Γ(p)}). Wegen ∗(δ) muß die Einschränkung von α(p) auf Z^{Γ(p)} der Einschränkung von μ_{2} gleich sein. Folglich gibt es einen Charakter β′(p) von U_{p}, der auf Z(ε)^{Γ(p)} gleich α(p) ist, und auf Z gleich μ_{2}. Es ist ferner β′(p) eindeutig bestimmt bis auf einen Charakter von π_{0}((Z(ε)/Z)^{Γ(p)}), der trivial ist auf π_{0}(Z(ε)^{Γ(p)}).

Um β′(∞) zu definieren, wählen wir ein h ∈ X_{∞}, das sich durch G(ε) faktorisiert, was möglich ist, weil ε elliptisch ist. Es sei h(z, w) = z^{μ}wμ̄.

Lemma 5.16. (a) Die Einschränkung α(∞) von - μ auf Z(ε)^{Γ(∞)} hängt nicht von der Wahl von h ab. (b) Auf Z^{Γ(∞)} ist α(∞) gleich −μ_{2}.

Das Lemma, dessen zweite Aussage sowieso klar ist, erlaubt uns β′(∞) zu definieren, genau wie wir β′(p) definiert haben, nur daß es auf Z gleich −μ_{2} sein soll. Die erste Aussage ist folgenderweise aufzufassen. Wenn T̂ eine Cartanuntergruppe von Ĝ(ε) ist, dann definiert μ eine Bahn unter der Weylgruppe Ω(T̂, Ĝ(ε)) in X^{∗}(T). Alle Elemente aus der Bahn haben dieselbe Einschränkung auf Z(ε) und folglich auf Z(ε)^{Γ(∞)}. Es handelt sich um diese Einschränkung.

Es seien h_{1}, h_{2} zwei Elemente aus X_{∞}, die sich durch G(ε) faktorisieren. Wir wollen beweisen, daß die entsprechenden μ_{1}, μ_{2} dieselbe Einschränkung auf Z(ε)^{Γ(∞)} haben. Das ist allerdings klar, wenn h_{1}, h_{2} unter G(ε.R) konjugiert sind. Wir können deshalb annehmen, daß sie auch durch eine gemeinsame elliptische Cartanuntergruppe T ⫅ G(ε) faktorisieren. Es sei h_{2} = h_{1}^{g} = ad g^{−1} ∘ h_{1}, g ∈ G(R). Dann ist K_{2} = K_{1}^{g}, wenn K_{i} der Zentralisator von h_{i} in G(R) ist. Folglich sind T und T^{g} Cartanuntergruppen von K_{2}. Wir können daher g durch gk ersetzen, k ∈ K_{2}, und annehmen, daß T = T^{g}. Das Element g stellt ein Element der Weylgruppe dar, dem wir in der üblichen Weise ([Sh]) eine Klasse in H^{1}(R, T) zuordnen. Sie ist durch

ι → (−1)^{g^{−1}μ_{1}−μ_{1}} = (−1)^{μ_{2}−μ_{1}}

definiert ([MS2], Prop. 4.2). Andererseits ist sie trivial. Folglich definiert μ_{2} − μ_{1} die triviale Klasse in H^{1}(R, X_{∗}(T)), woraus sofort folgt, daß μ_{2} −μ_{1} trivial auf T̂^{Γ(∞)} ist. Um so mehr ist es auf Z(ε)^{T (∞)} trivial, denn Z(ε) ⫅ T̂ und die Wirkungen von Γ(∞) auf den beiden Gruppen sind verträglich.

Es bleibt zu zeigen, daß das Produkt ∏ β(v) auf der Einskomponente [(Z(ε)/z)^{Γ}]^{0} trivial ist, d.h. daß β(∞) · β(p) auf [Z(ε)^{Γ}]^{0} trivial ist. Wir betrachten das Bild von α(p) unter der Verkettung von Abbildungen

X^{∗}(Z(ε)^{Γ(p)}) → X^{∗}(Z(M̄)^{Γ(p)}) → X^{∗}(Z(M̄)^{Γ(p)}) ⊗ Q,
X^{∗}(Z(M̂)^{Γ(p)}) ⊗ Q = X^{∗}(Z(ε))^{Γ(p)} ⊗ Q → X^{∗}(Z(ε))^{Γ} ⊗ Q.
Das Bild von α(p) in X^{∗}(Z(M̂)^{Γ(p)}) ⊗ Q ist gleich

\frac{1}{n}λ_{M}(Nm_{L_{n}/Q_{p}}b)|_{Z(M̂)^{Γ(p)}} = \frac{1}{n}λ_{M}(ε)|_{Z(M̂)^{Γ(p)}}.

Andererseits ist das Bild von μ ∈ X^{∗}(Z(ε)^{Γ(∞)}) in X^{∗}(Z(ε))^{Γ} ⊗ Q gleich dem Bild von μ_{1} ∈ X^{∗}(Z(M̂)), also gleich \frac{1}{n}Nm_{L_{n}/Q_{p}}μ_{1}. Die Behauptung folgt daher aus der Bedingung ( ∗ (ε)).

Die Invariante κ(γ, δ) ist jetzt mittels des Produkts (5.p) definiert. Es seien ε und ε′ aus G(Q) stabil konjugiert. Die Bedingungen (i), (ii), (iii) gelten auch für (γ, δ, ε′) sowie die Bedingung ∗(δ).

Lemma 5.17. Es erfülle ε ∈ G(Q_{p}) die Bedingung ∗(ε) und es sei ε′ ∈ G(Q_{p}) stabil konjugiert zu ε. Dann erfüllt ε′ die Bedingung ∗(ε′).

Es sei ε′ = ε^{g}, g ∈ G(Q̄_{p}). Dann ist M′ = M^{g}, und die daraus abgeleitete Abbildung M_{ab} → M′_{ab} ist über Q_{p} definiert. Die Gleichung erlaubt es uns auch Z(M̂) mit Z(M̂′) zu identifizieren. Dann entsprechen μ und ad g^{−1} ∘ μ derselben Bahn in X^{∗}(T), so daß μ_{1} = μ′_{1}. Da μ über L_{n} definiert ist, ist die Konjugationsklasse von ab g^{−1} ∘ μ über L_{n} definiert. Es folgt aus [K3], Lemma 1.1.3, daß es ein μ′ : G_{m} → M′ gibt, das über L_{n} definiert ist, und das in M′(Q̄_{p}) zu dem Homomorphismus ad g^{−1} ∘ μ konjugiert ist, denn G, und folglich auch M′, ist über Q_{p} quasi-zerfallend. Wenn wir zeigen, daß M_{der} und M′_{der} einfach-zusammenhängend sind, dann folgt es sofort aus der Definition, daß λ_{M}(ε) = λ_{M′}(ε′). Somit wäre das Lemma bewiesen.

Wir betrachten M allein und zeigen zu einem späteren Zweck mehr als jetz eigentlich nötig. M ist ein Levi-Faktor einer über Q_{p} definierten quasi-zerfallenden Gruppe G mit G_{der} einfach-zusammenhängend. Da M_{der} ⫅ M ∩ G_{der}, nehmen wir augenblicklich an, daß G = G_{der}. Es sei T ⫅ M eine über Q_{p} definierte Cartanuntergruppe von G, die in einer über Q_{p} definierten Boreluntergruppe B liegt. Die bezüglich B einfachen Wurzeln α_{1}, ⋯, α_{s} von T in G können wir in zwei Mengen einteilen, die Wurzel α_{1}, …, α_{r} von T in M und die anderen α_{r+1}, …, α_{s}. Als Basis für X^{∗}(T) wählen wir λ_{1}, …, λ_{s} mit λ_{i}(α̂_{j}) = δ_{ij}, wobei α̂_{j} die Kowurzel zu α_{j} ist. Da Kowurzeln bezüglich G auch Kowurzeln bezüglich M sind, ist M_{der} einfach-zusammenhängend. Es ist ferner M das halb-directe Produkt von M_{der} und dem Kern R ⫅ T von {λ_{1}, …, λ_{r}}. Die Gruppe R ist über Q_{p} definiert, und {λ_{r+1}, …, λ_{s}} ist eine Basis für X^{∗}(R). Weil λ_{r+1}, …, λ_{s} von der Galoisgruppe permutiert werden, ist H^{1}(Q_{p}, R) = {1} und H^{1}(Q_{p}, M) = {1}. Im allgemeinen Fall gilt nur H^{1}(Q_{p}, M ∩ G_{der}) = {1}.

Lemma 5.18. κ(γ, δ; ε′) = κ(γ, δ; ε).

Um diesem Lemma einen Sinn zu geben, müssen wir die Gruppen, in denen die Invarianten liegen, miteinander identifizieren. Es sei ε′ = g^{−1}εg, g ∈ G_{der}(Q̄). Dann ist u → u′ = g^{−1}ug ein Isomorphismus von G(ε) nach G(ε′), der es uns erlaubt, G(ε′) als eine innere Twistung von G(ε) zu behandeln, weil für jedes σ ∈ Gal(Q̄/Q) das Element a_{σ} = gσ(g^{−1}) in G(ε) liegt. Wir können daher Ĝ(ε′) mit Ĝ(ε) identifizieren sowie Z(ε′) mit Z(ε), und dann X′/ ∏_{v} X′_{v} mit X/ ∏_{v} X_{v}. Wir identifizieren G(ε′) mit G(ε) mittels der Abbildung u → u′. Das ergibt eine neue Wirkung der Galoisgruppe auf G(ε), die durch die Gleichungen

g^{−1}σ′(u)g = σ(g^{−1}ug)

definiert wird. Es ist folglich σ′(u) = a_{σ}σ(u)a_{σ}^{−1}.

Um Lemma 5.18 zu beweisen, brauchen wir zwei zusätzliche Lemmata, die wir nicht nur für G(ε), sondern für eine beliebige (reduktive) Gruppe G beweisen. Es sei {a_{σ}} ein Kozykel von Gal(Q̄/Q) mit Werten aus G, und G′ die entsprechende innere Twistung. Man prüft leicht nach, daß die Abbildung {v_{σ}} → {v′_{σ} = v_{σ}a_{σ}^{−1}} eine Bijektion ξ : H^{1}(Q, G) → H^{1}(Q, G′) definiert sowie lokale Bijektionen

ξ(v) : H^{1}(Q_{v}, G) → H^{1}(Q_{v}, G′).

Wie oben können wir Z′ = Z(G) mit Z identifizieren und folglich auch π_{0}(Z′^{Γ(v)})^{D} mit π_{0}(Z^{Γ(v)})^{D}. Der Kozykel {a_{σ}} definiert eine Klasse α ∈ H^{1}(Q, G) mit Lokalisierungen α(v). Es seien δ(v) das α(v) entsprechende Element aus π_{0}(Z^{Γ(v)})^{D} (siehe [K2], §6.4, für eine endliche Stelle und [K5], §1.2 für den allgemeinen Fall) und η(v) der durch Multiplikation mit δ(v)^{−1} entstandene Isomorphismus

π_{0}(Z^{Γ(v)})^{D} → π_{0}(Z^{Γ(v)})^{D} = π_{0}(Z′^{Γ(v)})^{D}.

Lemma 5.19. Das Diagramm

H^{1}(Q_{v}, G) ^{\underrightarrow{ξ(v)}} H^{1}(Q_{v}, G′)
↓ ↓
π_{0}(Z^{Γ(v)})^{D} _{\overrightarrow{η(v)}} π_{0}(Z′^{Γ(v)})^{D}

ist kommutativ.

Wir brauchen eine zentrale Erweiterung

1 → Z → H → G → 1

mit H_{der} einfach-zusammenhängend, für die H^{1}(Q_{v}, H) → H^{1}(Q_{v}, G) surjektiv ist. Für eine nicht-archimedische Stelle ist eine Erweiterung dieser Art in [K2], §6.4 konstruiert. Für eine archimedische Stelle hat eine beliebige z-Erweiterung (siehe [K1], §1), für die Z eine von C induzierter Torus ist, die erwünschte Eigenschaft. Es genügt, das Lemma für H statt G zu beweisen. Dann können wir nach den Definitionen H durch H_{ab} ersetzen, und für H_{ab} ist die Behauptung klar.

Das zweite Lemma betrifft ein a ∈ G(𝔨) derart, daß für ein genügend hohes n, das Produkt aσ(a) ⋯ σ^{n−1}(a) zentral in G ist. Dabei ist σ das Frobeniuselement. Dann definiert a eine Twistung G′ von G, für die

G′(Q_{p}) = {g ∈ G(𝔨)|aσ(g)a^{−1} = g}.

Es definiert b → b′ = ba^{−1} eine Bijektion ξ_{p} zwischen B(G) und B(G′).

Es gilt

b′σ′(b′) ⋯ σ′^{n−1}(b′) = bσ(b) ⋯ σ^{n−1}(b)σ^{n−1}(a)^{−1} ⋯ σ(a)^{−1}a^{−1}.

Es folgt dann leicht aus [K4], Prop. 4.3.3, daß ξ_{p} auch eine Bijektion zwischen B(G)_{b} und B(G′)_{b} ist. Das a zugeordnete Element δ(p) liegt in X^{∗}(Z^{Γ(p)}). Durch Multiplikation mit δ(p)^{−1} erhalten wir einen Isomorphismus η(p),

X^{∗}(Z^{Γ(p)}) → X^{∗}(Z^{Γ(p)}) = X^{∗}(Z′^{Γ(p)}).

Lemma 5.20. Das Diagramm

B(G)_{b}  ^{\underrightarrow{ξ(p)}} B(G′)_{b}
↓ ↓
X^{∗}(Z^{Γ(p)}) _{\overrightarrow{η(p)}} X^{∗}(Z′^{Γ(p)})

ist kommutativ.

Das Lemma wird genau wie das vorherige bewiesen. Man wählt wie in [K2], §6.4 eine zentrale Erweiterung

1 → Z → H → G → 1

mit H_{der} = H_{sc} und verwendet die Definition von [K4].

Um Lemma 5.17 zu beweisen, wenden wir die zwei Lemmata auf G(ε) ∩ G_{der} an. Nach Prop. 2.6 von [K5] wäre das Lemma bewiesen, wenn wir zeigen könnten, daß, wenn wir ε durch ε′ ersetzen, dann β′(v) durch δ^{−1}(v)β′(v) ersetzt werden kann. Dabei ist erstens zu bemerken, daß wir g ∈ G_{der}(Q̄) gewählt hatten, damit der Kozykel {a_{ϱ}} in G(ε) ∩ G_{der} liegt, und zweitens zu erinnern, daß Z(ε)/Z = Z(Ĥ), wobei H = G(ε) ∩ G_{der}.

Wenn v = l ≠ p, ist

γ = cεc^{−1} = cgε′g^{−1}c^{−1}

und

g^{−1}c^{−1}ϱ(c)ϱ(g) = g^{−1}(b_{ϱ}a_{ϱ}^{−1})g.

Folglich wird die Klasse α(v) von {b_{ϱ}} durch ξ(v)(α(v)) ersetzt. Wir können daher β′(v) durch δ^{−1}(v)β′(v) ersetzen.

An der Stelle p gilt

Nm_{L_{n}/Q_{p}}δ = cgε′g^{−1}c^{−1}.

Leider liegt g vielleicht nicht in G_{der}(Q_{p}^{un}). Es läßt sich aber als Produkt schreiben, g = kg_{1} mit g_{1} ∈ G_{der}(Q_{p}^{un}), k ∈ G_{der}(Q̄_{p}) ∩ G(ε).

Folglich gilt

gϱ(g)^{−1} = kg_{1}ϱ(g_{1})^{−1}ϱ(k)^{−1},

so daß g und g_{1} dieselbe Klasse in H^{1}(Q_{p}, G(ε) ∩ G_{der}) liefern. Die durch g definierte Identifizierung von Ĝ(ε′) und Ĝ(ε) ist auch die durch g_{1} definierte. Wir können daher g durch g_{1} ersetzen, wenn wir zeigen wollen, daß β′(v) durch δ^{−1}(v)β′(v) zu ersetzen ist.

Es gilt

Nm_{L_{n}/Q_{p}}δ = cg_{1}ε′g_{1}^{−1}c^{−1}.

Wir ersetzen also b durch

b′ = g_{1}^{−1}(bσ(g_{1})g_{1}^{−1})g_{1},

so daß die erwünschte Ersetzung aus Lemma 5.19 und der Verträglichkeit der zwei Bijektionen B(G)_{b} → X^{∗}(Z^{Γ(p)}) und H^{1}(Q_{p}, G) → π_{0}(Z^{Γ(p)})^{D} folgt ([K4]).

Unendlichen ist die Behauptung, daß β′(∞) durch δ^{−1}(∞)β′(∞) ersetzt werden kann, lokal und transitiv. Sie gilt, wenn ε und ε′ innerhalb G_{der}(R) konjugiert sind. Folglich können wir annehmen, daß es eine über R definierte Cartanuntergruppe T von G(ε) gibt, so daß T^{g} = T. Wir können weiter annehmen, daß h : \underline{S} → T. Wenn wir mittels g die zwei Gruppen Z(ε) und Z(ε′) identifizieren, dann ist α′(∞) die Einschränkung von −gμ auf Z(ε)^{Γ(∞)}, d.h. das Produkt von α(∞) mit dem Inversen der Einschränkung von gμ − μ. Nach [K5], Th. 1.2, und [MS], Prop. 4.2, ist diese Einschränkung gerade δ(∞).

Wir kehren jetzt zu unserer vermuteten Beschreibung der Punkte auf einer reduzierten Shimuravarietät zurück. Es sollen die Voraussetzungen von Satz 5.3 gelten. Es sei m eine vorgegebene natürliche Zahl. Wir betrachten Paare (ϕ, ε) mit folgenden Eigenschaften:

(i) ϕ : 𝒬 → 𝒢_{G} ist zulässig.

(ii) ε ∈ I_{ϕ}.

(iii) Es gibt γ = (γ(l)) ∈ G(A_{f}^{p}), y ∈ X^{p}, und x in der G(𝔨)-Bahn des Punkts x^{0}, so daß

εy = yγ und εx = Φ^{m}x.

Solche Paare nennen wir zulässig. Es wird übringes nicht verlangt, daß x in X_{p} liegt. Wenn wir y durch yh ersetzen, h ∈ G(A_{f}^{p}), dann geht γ über in h^{−1}γh. Folglich ist die Konjugationsklasse von γ durch das Paar (ϕ, ε) eindeuting bestimmt. Da ℐ_{ϕ} eine getwistete Form einer Untergruppe von G ist, ist es sowohl global als auch lokal sinnvoll zu behaupten, daß ε zu einem Element aus G stabil konjugiert ist. Insbesondere ist es zu jedem γ(l) stabil konjugiert. Es folgt ferner aus Lemma 5.23 weiter unten, daß ε zu einem Element ε_{0} aus G(Q) stabil konjugiert ist. Dann ist ε_{0} zu jedem γ(l) stabil konjugiert. Es folgt leicht aus der Definition von X^{p} und dem Lemma von Greenberg [G], daß ε_{0} und γ(l) fast überall konjugiert sind.

Um X_{p} zu definieren, haben wir ξ_{p} durch ξ′_{p} ersetzt und F = ξ(w) = b × σ eingeführt, b ∈ G(𝔨). Wenn ξ′_{p} = ad u ∘ ξ_{p} ist, dann müssen wir ε durch ε′ = uεu^{−1} ersetzen, um seine Wirkung auf X_{p} und zwecks der Bedingung εx = Φ^{m}x auch auf ℬ(G, 𝔨) zu bekommen. Die Bedingung soll deshalb eher ε′x = Φ^{m}x lauten.

Nach Lemma 1.4.9 von [K3] hat die Bedingung (ii) zur Folge, daß es ein c ∈ G(𝔨) und ein δ ∈ G(L_{n}) gibt, so daß cbσc^{−1} = δσ und Nm_{L_{n}/Q_{p}}δ = cε′c^{−1} = cuεu^{−1}c^{−1} = cugε_{0}g^{−1}u^{−1}c^{−1}, wenn ε = gε_{0}g^{−1}. Das Tripel γ, δ, ε_{0} erfüllt also die Bedingungen (ii) und (iii) (in denen man ε durch ε_{0} ersetze), die zur Definition der K-Invariante gebraucht wurden. Daß die Bedingung (i) auch erfüllt ist, folgt sofort aus (5.b). Die Bedingung ∗(δ) folgt aus (5.a), denn b und δ definieren die gleiche Klasse in B(G)_{ab}. Die Bedingung ∗(ε) ist auch erfüllt, wie aus Satz 5.21 folgt. Wir können also die Invariante κ(γ, δ; ε_{0}) einführen. Wir heben sofort hervor, daß das b, das in der Definition der Invarianten auftritt, auch das in F = b × σ vorkommende ist.

Satz 5.21 weiter unten beschreibt diejenigen ε_{0}, für die es ein zulässiges Paar (ϕ, ε) gibt mit ε und ε_{0} stabil konjugiert. Zwei zulässige Paare (ϕ, ε) und (ϕ′, ε′) heißen äquivalent, falls es ein g ∈ G(Q̄) gibt mit ϕ′ = ad g ∘ ϕ, ε′ = ad g(ε). Satz 5.25 zählt die Klassen (ϕ, ε) mit ε zu einem gegebenen ε_{0} stabil konjugiert auf. Für die Bedeutung dieser Aufzählung weisen wir auf [K3] und weitere noch nicht geschriebene Arbeiten von Kottwitz hin. Satz 5.21. Es existiert dann und nur dann ein zulässiges Paar (ϕ, ε) mit ε stabil konjugiert zu ε_{0}, wenn ε_{0} im Unendlichen elliptisch ist und die Bedingung ∗(ε) erfüllt mit n = rm.

Daß ε_{0} im Unendlichen elliptisch sein muß, folgt aus den Bedingungen (i) und (ii) an die Zulässigkeit. Um die Notwendigkeit der zweiten Bedingung zu beweisen, brauchen wir einige Vorbereitung, die sich auch beim Beweis von Satz 5.25 als nützlich erweisen wird.

Die Abbildung ϕ heißt günstig gelegen, falls γ_{n} = ϕ(δ_{n}) für hohes n in G(Q) liegt. Dem Lemma 5.4 zur Folge können wir annehmen, daß ϕ günstig liegt. Dann ist I_{ϕ} = ℐ_{ϕ}(Q), wobei ℐ_{ϕ} eine getwistete Form des Zentralisators ℐ von γ_{n} ist (n genügend hoch). Wenn ϕ(q_{ϱ}) = b_{ϱ} × ϱ, dann liegt b_{ϱ} in ℐ und {b_{ϱ}} definiert die Twistung. Das Paar (ϕ, ε) heißt günstig gelegen, falls ϕ günstig gelegen ist und ε ∈ I_{ϕ} ⫅ ℐ_{ϕ}(Q̄) = ℐ(Q̄) ⫅ G(Q̄) auch in G(Q) liegt. Dann liegt b_{ϱ} in G(ε), das notwendigerwise zusammenhängend ist, weil G_{der} einfachzusammenhängend ist.

Lemma 5.22. Jedes Paar (ϕ, ε), ε ∈ I_{ϕ}, ist zu einem günstig gelegenen Paar (ϕ′, ε′) äquivalent.

Es ist nützlich, ein stärkeres Lemma zu beweisen. Es sei T eine über Q definierte elliptische Cartanuntergruppe und h ∈ X_{∞} faktorisiere sich durch T. Es sei μ = μ_{h}. Wir sagen, daß (ϕ, ε) in (T, h) eingeschachtelt ist, falls ϕ = ψ_{T,μ} und ε ∈ T (Q).

Lemma 5.23. Für jedes Paar (ϕ, ε), ε ∈ I_{ϕ} können wir ein äquivalentes Paar (ϕ′, ε′) finden sowie T′ und h′, so daß (ϕ′, ε′) in (T′, h′) eingeschachtelt ist.

Es ist klar, daß Lemma 5.22 aus Lemma 5.23 folgt. Der Beweis von Lemma 5.23 wiederholt zum Teil den von Satz 5.3. Wir können annehmen, daß ϕ günstig liegt. Es sei ε_{1} ein Element aus I_{ϕ}, dessen Zentralisatoren in ℐ_{ϕ}, ℐ oder G Cartanuntergruppen sind, die ε enthalten. Diese Zentralisatoren sind dann alle gleich und werden mit T bezeichnet. Als Untergruppe von ℐ_{ϕ} ist T über Q definiert, aber vielleicht nicht als Untergruppe von G. Die Konjugationsklasse von ε_{1} in G(Q̄) ist rational, weil ℐ eine innere Twistung von ℐ_{ϕ} ist. Wir hatten ψ : G → G^{∗} bis auf inneren Automorphismus fixiert. Nach dem Satz von Steinberg (siehe [K1]) können wir annehmen, daß ε_{1}^{∗} = ψ(ε_{1}) rational ist. Es sei T^{∗} = ψ(T) der Zentralisator von ε_{1}^{∗}. Wir verwenden Lemma 5.6, um zu beweisen, daß T^{∗} in G vorkommt. Wir zeigen, daß es lokal vorkommt, und daß T^{∗} im Unendlichen elliptisch ist.

Daß T^{∗} an der Stelle p in G vorkommt, ist ohne weiteres klar, weil G über Q_{p} quasi-zerfallend ist. An einer Stelle l ≠ p ist b_{ϱ} = c_{ϱ}d_{ϱ}, ϱ ∈ Gal(Q̄_{l}/Q̄_{l}) mit c_{ϱ} im Bild von Q und folglich im Zentrum von ℐ und mit d_{ϱ} = uϱ(u^{−1}), u ∈ G(Q̄_{l}). Dann ist d_{ϱ}ϱ(ε_{1})d_{ϱ}^{−1} = ε_{1} und u^{−1}ε_{1}u = ϱ(u^{−1}ε_{1}u). Folglich ist der Zentralisator T_{l} von u^{−1}ε_{1}u über Q_{l} definiert und ψ ∘ adu(T_{l}) = T^{∗}. Im Unendlichen ist b_{ϱ} = c_{ϱ}d_{ϱ} mit c_{ϱ} im Bild von Q und mit

d_{ι} × ι = uξ_{∞}(w(ι))u^{−1},

wobei ξ_{∞} am Anfang des Abschnitts definiert ist. Es ist daher g → u^{−1}gu eine über R definierte Einbettung von ℐ_{ϕ} in die durch ξ_{∞} definierte Gruppe G′. Inbesondere liegt u^{−1}ε_{1}u in G′(R). Andererseits, wenn ξ durch h ∈ X_{∞} definiert ist und h sich durch T_{1} faktorisiert, dann liegt T_{1}(R) in G′(R). Es ist folglich ε_{1} = v^{−1}ε_{2}v mit ε_{2} ∈ T_{1}(R). Da ε_{1}^{∗} = ψ ∘ adv(ε_{2}), kommt T^{∗} über R vor und zwar als T_{1}, das elliptisch ist.

Es existiert daher ein g ∈ G(Q̄), so daß adg(ψ^{−1}(T^{∗})) über Q definiert ist, und so daß der Homomorphismus t^{∗} → t = adg(ψ^{−1}(t^{∗})) ∈ adg(T) auch über Q definiert ist. Folglich ist adg(ε_{1} ∈ G(Q). Da ε und γ_{n} in T (Q) liegen, sind adg(ε) und adg(γ_{n}) in adg(T) enthalten. Wir ersetzen ε, ϕ und T durch adg(ε), adg ∘ ϕ und adg(T). Dann sind wir da, wo wir beim Beweis das Satzes 5.3 waren, bevor wir Lemma 5.11 bewiesen hatten, nur daß uns jetzt ein zusätzliches Datum vorgegeben ist, nämlich ε ∈ T (Q). Wenn wir Lemma 5.11 und 5.12 sowie die letzte Betrachtung des Beweises von Satz 5.3 anwenden, um ϕ und T schrittweise abzuändern, dann können wir ε mitschleppen, um am Ende die erwünschten ϕ′, ε′, T′_{1}, h′ zu bekommen.

Wir kommen jetzt zu der Notwendigkeit der Bedingung ∗(ε). Wir können annehmen, daß es T und h gibt, so daß (ϕ, ε) in (T, h) eingeschachtelt ist. Wir können ferner annehmen, daß ε_{0} = ε. Wir wollen zeigen, daß unter diesen Umständen M ⫅ 𝒥. Das gilt auch allgemeiner, wenn (ϕ, ε) günstig liegt und ε_{0} = ε. Die allgemeine Behauptung folgt sofort aus der speziellen.

Wie beim Beweis des Lemma 5.2 können wir annehmen, daß ξ′_{p} = ξ_{−μ′}, wobei μ′ ein Kogewicht einer über 𝔨 zerfallenden Cartanuntergruppe T′ von 𝒥 ist. Dann ist F = p^{μ′} × σ, wie in dem Lemma 5.2 vorangehenden Beispiel. Es sei ξ_{−μ′} = adv(ξ_{p}), ε′ = adv(ε), v ∈ J(Q̄_{p}). Es ist

Φ^{tm} = F^{tn} = p^{−t′ν_{2}} × σ^{tn},

wobei für ein hinreichend hohes s

ν_{2} = −μ′ · σμ′ − ⋯ − σ^{s−1}μ′, tn = t′s.

Das Element ε′ ist mit Φ^{tm} vertauschbar. Wenn aber t so hoch ist, daß T′ über L_{tn} zerfällt, dann folgt leicht aus der Bruhat-Zerlegung, daß ε′ nur dann mit Φ^{tm} vertauschbar sein kann, wenn es auch mit σ^{tn} und p^{−tν_{2}} vertauschbar ist.

Aus der Gleichung ε′x = Φ^{m}x folgt allgemein

(ε′)^{t}x = Φ^{tm}x, t ∈ Z.

Sei t so hoch, daß σ^{t}(x) = x. Dann hat k′ = p^{t′ν_{2}} · ε′^{t} einen Fixpunkt und seine Eigenwerte sind alle vom Absolutbetrag 1.

Die Zerlegung

(ε′)^{t} = p^{−t′ν_{2}}k′

ist eine Art polarer Zerlegung von (ε′)^{t} und ist eindeutig bestimmt. Aus der Eindeutigkeit folgt, daß p^{−tν_{2}} im Zentrum von G(ε) liegt. Da 𝒥 der Zentralisator von p^{−t′ν_{2}} ist und p^{−t′ν_{2}} offensichtlich einen ein-dimensionalen zerfallenden Torus erzeugt, ist M in 𝒥 enthalten.

Aus [K3], §3 folgt leicht, daß

λ_{M}(ε) = \frac{1}{t}λ_{M}(ε^{t}) = \frac{1}{t}λ_{M}(p^{−t′ν_{2}}) = −\frac{t′}{t} ν′_{2},

und −\frac{t′}{t} ν_{2} eigenschränkt auf Z(M̂) ⫅ T̂ ist gleich Nm_{L_{n}/Q_{p}}μ′_{1}. Obwohl μ′ selbst vielleicht nicht über L_{n} definiert ist, gibt es nach der Definition von E und dem Lemma 1.1.3 von [K3] ein μ : G_{m} → M, das zu μ′ konjugiert ist und das über L_{n} definiert ist. Es ist offensichtlich μ_{1} = μ′_{1}.

Wir nehmen jetzt an, daß ε_{0} die zwei Bedingungen von Satz 5.21 erfüllt, und beweisen die Existenz eines zulässigen Paares (ϕ, ε) mit ε stabil konjugiert zu ε_{0}. In G(ε_{0}) können wir eine Cartanuntergruppe T von G(ε_{0}) über Q und ein Kogewicht μ von T finden, so daß T elliptisch im Unendlichen und in p ist, und so daß μ, wenn schon nicht der von Voraussetzung (b) verlangte Homomorphismus von G_{m} nach M ist, doch wenigstens in M zu ihm konjugiert ist. Es kann sein, daß ψ_{T,μ} nicht zulässig ist. Dann verwenden wir den Beweis von Lemma 5.12, um ein u ∈ G(Q̄) zu finden, so daß T′ = u T u^{−1} und t → t′ = utu^{−1} beide über Q definiert sind, während μ′ = adu ∘ μ = μ_{h}, h ∈ X_{∞}. Notfalls ersetzen wir ε_{0} durch ε′_{0} = adu(ε_{0}) und T, μ durch T′, μ′, damit ψ_{T,μ} zulässig wird. Dann enthält X^{p} einen Punkt y aus ∏_{l≠p} T (Q̄_{l}), der notwendigerweise mit ε_{0} vertauschbar ist, so daß ε_{0}y = yε_{0}. Folglich erfüllt (ϕ, ε) = (ψ_{T,μ}, ε_{0}) die Bedingungen (i), (ii) und einen Teil von (iii), nämlich die Existenz vom Punkt y.

Um den zweiten Teil von (iii) nachzuprüfen, können wir annnehmen, daß ξ′_{p}, das X_{p} und Φ definiert, gleich adu ∘ ξ_{p} = ξ_{−μ′} ist, wobei u ∈ M(Q̄_{p}), und wobei ξ_{−μ′} einer über 𝔨 zerfallenden elliptischen Cartanuntergruppe T′ von M und einem zu μ konjugierten Kogewicht μ′ entspricht. Es sei ε′ = adu(ε). Dann ist

Φ^{m} = p^{ν} × σ^{n}

mit

ν = ∑_{j=0}^{n−1} σ^{j}(μ′).

Nach Voraussetzung ∗(ε) ist

λ_{M}(ε′) = λ_{M}(ε) = λ_{M}(p^{ν}).

Da das von μ′ definierte Kogewicht von M_{ab} über Q_{p} definiert ist, schließen wir, daß das Bild von (ε′)^{−1}p^{ν} in der maximalen kompakten Untergruppe von M_{ab}(𝔨) liegt. Folglich gibt es ein c ∈ T′(𝔨), so daß c^{−1}(ε′)^{−1}Φ^{m}c ∈ M_{sc}(𝔨) × σ^{n}.

Um die Existenz von x zu beweisen, müssen wir (siehe [K3], Lemma 1.4.9) die Existenz eines u ∈ G(𝔨) zeigen mit u^{−1}ε′^{−1}Φ^{m}u = σ^{n}. Wir suchen eher, was offensichtlich stärker ist, ein d ∈ M_{sc}(𝔨), so daß d^{−1}c^{−1}ε′^{−1}Φ^{m}cd = σ^{n}.

Dafür genügt es zu zeigen, daß c^{−1}ε′^{−1}Φ^{m}cσ^{−n} ∈ M_{sc}(𝔨) wesentlich ist, denn die Prop. 5.4 von [K4] besagt, daß B(M_{sc})_{b} über einer beliebigen endlichen Erweiterung von Q_{p}, insbesondere über L_{n}, trivial ist. Nach der Bedingung (4.3.3) von [K4] ist c^{−1}ε′^{−1}Φ^{m}cσ^{−n} wesentlich, falls für ein hinreichend hohes t

(5.q) c^{−1}(ε′^{−1}Φ^{m})^{t}c = eσ^{tn}e^{−1}.

Für ein hohes r ist Φ^{mr} = p^{ν′} × σ^{rn} mit

ν′ = ∑_{j=0}^{rn−1} σ^{j}(μ),

und ε′ ist mit p^{ν′} und σ^{rn} vertauschbar. Es ist ferner ν′ zentral, und (ε′)^{r} hat eine polare Zerlegung (ε′)^{r} = p^{ν′}k. Es ist daher

(ε′^{−1}Φ^{m})^{sr} = k^{s} × σ^{srn}

und

c^{−1}(ε′^{−1}ϕ^{m})^{sr}c = c^{−1}k^{−s}σ^{srn}(c) × σ^{srn} = (c^{−1}k^{−s}c)(c^{−1}σ^{srn}(c)) × σ^{srn}.

Für s und r hoch sind k^{−s} und c^{−1}σ^{srn}(c) in einer beliebig vorgegebenen Umgebung von 1 erhalten. Somit ist die Existenz von einer Lösung von (5.q) bewiesen und damit der Satz 5.21.

In dem Satz 5.25 weiter unten tritt eine Invariante i(ε_{0}) auf, nähmlich die Ordnung des Kerns von

H^{1}(Q, G(ε_{0})) → H^{1}(Q, G_{ab}) × ∏_{v} H^{1}(Q_{v}, G(ε_{0})).

Wenn ε_{0} durch ein stabil konjugiertes ε′_{0} ersetzt wird, wird G(ε_{0}) durch G(ε′_{0}), eine getwistete Form von G(ε_{0}), ersetzt. Um uns zu vergewissern, daß i(ε_{0}) wohldefiniert ist, beweisen wir folgendes einfache Lemma.

Lemma 5.24. Es seien G eine vorgegebene reduktive Gruppe über Q ohne E_{8}-Faktor, A ein Torus über Q und G → A ein über Q definierter surjektiver Homomorphismus. Es sei G′ eine innere Twistung von G. Dann sind die Ordnungen der Kerne der beiden Homomorphismen

H^{1}(Q, G) → H^{1}(Q, A) × ∏_{v} H^{1}(Q_{v}, G)

und

H^{1}(Q, G′) → H^{1}(Q, A) × ∏_{v} H^{1}(Q_{v}, G′)

gleich.

Wie beim Beweis von Lemma 4.3.2 von [K2] können wir G durch eine z-Erweiterung ersetzen und annehmen, daß G_{der} einfach-zusammenhängend ist. Dem Lemma 4.3.1 derselben Arbeit zur Folge können wir dann G durch G_{ab} ersetzen, und für G_{ab} ist die Aussage klar.

Wir haben schon bemerkt, daß die Konjugationsklasse des γ_{l}, das einem zulässigen Paar entspricht, wohlbestimmt ist. Die getwistete Konjugationsklasse von δ ∈ G(L_{n}) ist auch wohlbestimmt. Wenn z.B. cbσc^{−1} = δσ und ucbσc^{−1}u^{−1} = δ′σ während Nm_{L_{n}/Q_{p}}δ = cε′c^{−1} und Nm_{L_{n}/Q_{p}}δ′ = ucε′c^{−1}u^{−1}, dann ist δ′ = uδσ(u)^{−1} und ucε′c^{−1}σ^{n}(u)^{−1} = uNm_{L_{n}/Q_{p}}δσ^{n}(u)^{−1} = ucε′c^{−1}u^{−1}. Folglich liegt u in G(L_{n}). Satz 5.25. Es sei gegeben ein Element ε_{0} aus G(Q), das die Voraussetzungen von Satz 5.21 erfüllt, sowie für jedes l eine Konjugationsklasse {γ_{l}} in G(Q_{l}) und weiter eine getwistete Konjugationsklasse {δ} in G(L_{n}). Es seien γ_{l} und ε_{0} stabil konjugiert für jedes l und konjugiert für fast jedes l. Es seien auch Nm_{L_{n}/Q_{p}}δ und ε_{0} stabil konjugiert. Schließlich möchte δ die Bedingung ∗(δ) erfüllen. Es entsprechen γ = (γ_{l}) und δ dann und nur dann einem zulässigen Paar (ϕ, ε) mit ε stabil konjugiert zu ε_{0}, wenn κ(γ, δ; ε_{0}) = 1. In diesem Fall entsprechen (γ_{l}) und δ genau i(ε_{0}) nicht äquivalenten Paaren.

Wir beweisen als erstes: Wenn (ϕ, ε) vorhanden ist, dann ist die K-Invariante κ(γ, δ; ε_{0}) = 1. Wir können annehmen, daß es ein Paar (T, μ) gibt, so daß (ϕ, ε) in (T, h) eingeschachtelt ist. Wir können auch annehmen daß ε_{0} = ε. Dann sind γ_{l} und ε für jedes l konjugiert. Wir können deshalb das β(v), das in (5.p) vorkommt, gleich 1 wählen.

An der Stelle p ist das durch δ und ε definierte b dasselbe, das in F = b × σ vorkommt. Da ϕ = ψ_{T,μ}, ist das b entsprechende Element aus X^{∗}((Z(ε)^{Γ(p)}) nichts anderes als die Einschränkung von μ auf Z(ε)^{Γ(p)}, wie schon beim Beweis das Satz 5.21 erwähnt wurde. Dementsprechend wählen wir β′(p) als die Einschränkung von μ auf U_{p}. Andererseits ist μ = μ_{h} mit einem h ∈ X_{∞}, das sich durch T ⫅ G(ε) faktorisiert. Folglich können wir β′(∞) als die Einschränkung von −μ auf U_{∞} wählen. Es folgt sofort, daß

κ(γ, δ; ε) = β(∞)β(p) = 1.

Jede Klasse von zulässigen Paaren (ϕ, ε) mit ε stabil konjugiert zu ε_{0} enthält ein Paar (ϕ, ε_{0}). Wir wollen weiter zeigen, daß die Einschränkung von ϕ auf den Kern von 𝒬 von ε_{0} allein bestimmt ist, und daß ihr Bild im Zentrum von G(ε_{0}) liegt. Es seien ϕ und ϕ′ zwei zulässige Homomorphismen von 𝒬 nach 𝒢_{G} mit ε_{0} ∈ I_{ϕ} ∩ G(Q), ε_{0} ∈ I_{ϕ′} ∩ G(Q). Es seien γ_{k} = ϕ(δ_{k}), γ′_{k} = ϕ′(δ_{k}). Es muß gezeigt werden, daß für k genügend hoch γ_{k} und γ′_{k} zentral in G(ε_{0}) und gleich sind. Auf jeden Fall liegen γ_{k} und γ′_{k} in G(ε_{0}). Es ist auch klar, daß γ_{k} ≡ γ′_{k} (mod G_{der}). Infolgedessen können wir G durch G_{ad} ersetzen und ϕ und ϕ′ durch die entsprechenden Verkettungen. Es sei also für den Augenblick G eine adjungierte Gruppe.

Es sei T eine über Q definierte Cartanuntergruppe von G(ε_{0}), die im Unendlichen elliptisch ist und die γ_{k} enthält. Da ε_{0} im Zentrum von G(ε_{0}) liegt, ist das durch die Gleichungen

|λ(ε_{0})|_{p} = p^{ν′(x)}, λ ∈ X^{∗}(T)

definierte Element ν′ aus X_{∗}(T) ⊗ Q zentral, d.h. unter der Weylgruppe von G(ε_{0}) invariant. Es existiert eine natürliche Zahl t und ein η = p^{−tν′} ∈ T (Q), das außerhalb p eine Einheit ist, so daß

|λ(η)|_{p} = p^{tν′(λ)}, λ ∈ X^{∗}(T).

Das Element η kann zentral in G(ε_{0}) gewählt werden. Es sei s = \frac{k}{tn}. Wir zeigen, daß für k genügend hoch γ_{k} = η^{s}. Es muß nur nachgewiesen werden, daß η^{−s}γ_{k} eine Einheit in jeder endlichen Stelle ist, denn γ_{k} ist im Unendlichen notwendigerweise elliptisch, und wir können k durch ein Vielfaches ersetzen. Außerhalb p ist die Behauptung klar.

An der Stelle p betrachtet man den Homomorphismus ξ_{p} = ϕ ∘ ζ_{p} und das entsprechende ν. Einerseits ist ν durch

|λ(γ_{k})|_{p} = q^{−⟨λ,ν⟩}, q = p^{k}, λ ∈ X^{∗}(T)

definiert (siehe Anmerkung). Andererseits ist, weil (ϕ, ε_{0}) zulässig ist,

|λ(ε_{0})|_{p} = p^{−n⟨λ,ν⟩}

und

|λ(η)|_{p} = p^{−tn⟨λ,ν⟩}.

Somit ist die Behauptung auch in p bewiesen, wie auch die Gleichung γ_{k} = γ′_{k}.

Wir fixieren ein zulässiges und günstig gelegenes (ϕ_{v}, ε_{0}). Wenn (ϕ, ε_{0}) auch zulässig ist, ist ϕ = ϕ_{0} auf dem Kern. Es sei G′(ε_{0}) die durch ϕ_{0} definierte Twistung von G(ε_{0}). Wir betrachten einen Homomorphismus ϕ, der mit ϕ_{0} auf dem Kern übereinstimmt. Dann ist ϕ(q_{σ}) = a_{σ}ϕ_{0}(q_{σ}), wobei a = {a_{σ}} ein Kozykel von Gal(Q̄/Q) mit Werten aus G′(ε_{0}) ist. Wir schreiben ϕ = a · ϕ_{0}.

Lemma 5.26. (ϕ, ε_{0}) ist dann und nur dann zulässig, wenn das Bild von a in H^{1}(Q, G_{ab}) und in H^{1}(R, G′(ε_{0})) trivial ist.

Wir nehmen dieses Lemma zunächst an und beenden den Beweis von Satz 5.25. Es seien (γ_{0}, δ_{0}) und (γ, δ) die zu zulässigen (ϕ_{0}, ε_{0}) und (ϕ, ε) gehörenden Paare. Um κ(γ_{0}, δ_{0}; ε_{0}) (bzw. κ(γ, δ; ε)) zu definieren, haben wir für jedes v einen Charakter β′_{0}(v) (bzw. β′(v)) eingegührt. Es ist β′(v)(β′_{0}(v))^{−1} ein Charakter auf (Z(ε_{0})/Z)^{Γ(v)}, obwohl nur seine Einschränkung auf Z(ε_{0})^{Γ(v)} eindeutig bestimmt ist. Andererseits wird in [K2], Prop. 6.4 für jedes v der Klasse a ein Charakter α(v) von

Z(Ĝ′(ε_{0}))^{Γ(v)} = Z(Ĝ(ε_{0})^{Γ(v)} = Z(ε_{0})^{Γ(v)}

zugeordnet.

Lemma 5.27. α(v) ist die Einschränkung von β′(v)(β′_{0}(v))^{−1} auf Z(ε_{0})^{Γ(v)}.

Den Beweis stellen wir ebenfalls zurück. Hieraus folgt erstens, daß γ und γ_{0} dann und nur dann überall (allerdings außerhalb des Unendlichen und p) konjugiert sind, wenn a außerhalb ∞ and p lokal trivial ist. Wenn δ′ = uδσ(u)^{−1}, u ∈ G(L_{n}) und Nm_{L_{n}/Q_{p}}δ = cε_{0}c^{−1}, dann ist Nm_{L_{n}/Q_{p}}δ′ = ucε_{0}c^{−1}u^{−1} und b′ = c^{−1}u^{−1}δ′uc = b, oder wenigstens b′ = vbσ(v)^{−1}, v ∈ G(ε_{0}), denn c ist nur modulo G(ε_{0}) bestimmt. Umgekehrt wenn b′ = vbσ(v)^{−1}, können wir δ′ = δ wählen. Es sind folglich δ und δ_{0} dann und nur dann getwistet konjugiert in G(L_{n}), wenn a an der Stelle p trivial ist. Daher folgt die letzte Aussage von Satz 5.25 aus den beiden vorhergehenden Lemmata. Es sei jetzt (γ, δ) mit κ(γ, δ; ε_{0}) = 1 und es sei (a(v)) die zugehörige adelische Kohomologieklasse mit trivialer Komponente im Unendlichen. Aus Lemma 5.27 folgt leicht, daß wir (a(v)) in eine Kohomologieklasse (ã(v)) mit Werten in G′(ε_{0}) ∩ G_{der} liften können, die im Kern der natürlichen Abbildung

⨁ ; vH^{1}(Q_{v}, G′(ε_{0}) ∩ G_{der}) → (π_{0}(Z(ε_{0})/Z)^{Γ})^{D}

liegt. Wir schließen aus [K5], Prop. 2.6, daß (ã(v)) die Lokalisierung einer globalen Kohomologieklasse ist. Ihr Bild a ∈ H^{1}(Q, G′(ε_{0})) definiert nach Lemma 5.26 ein zulässiges Paar (ϕ, ε_{0}). Damit ist der Beweis von Satz 5.25 beendet.

Es bleibt der Beweis der Lemmata 5.26 und 5.27. Die Notwendigkeit der ersten Bedingung von Lemma 5.26 ist klar. Die Notwendigkeit der zweiten Bedingung folgt aus der Injektivität von H^{1}(R, G′(ε_{0})) → H^{1}(R, G′), die selbst eine Folge von Lemma 5.14 und dem nächsten Lemma ist.

Lemma 5.28. Es gelten die Voraussetzungen von Lemma 5.14. Dann ist H^{1}(R, T′) → H^{1}(R, G′) surjektiv.

Das Lemma läßt sich sofort auf den Fall einer adjugierten Gruppe zurückführen, für die es besagt, daß jede innere Twistung von G′ eine elliptische Cartanuntergruppe enthält. Das ist aber Lemma 5.8.

Jetzt erfülle a die Bedingungen von Lemma 5.26. Wir zeigen gleichzeitig, daß (ϕ, ε_{0}) zulässig ist, und daß Lemma 5.27 gilt. Die Bedingungen (5.a) und (5.b) sind sicherlich erfüllt. Um die anderen Bedingungen nachzuprüfen, können wir annehmen, daß a_{ϱ} ∈ G(ε_{0}) ∩ G_{der} für jedes ϱ.

Es sei

ϕ_{0} ∘ ζ_{l} = ady ∘ ξ_{l}, ε_{0}y = yγ_{l}^{0}, γ_{l}^{0} ∈ G(Q_{l}).

Dann ist {y^{−1}a_{ϱ}y|ϱ ∈ Gal(Q̄_{l}/Q_{l})} ein Kozykel mit Werten aus G_{der} und folglich trivial, y^{−1}a_{ϱ}y = c^{−1}ϱ(c). Es sei y′ = yc^{−1}. Es gilt

ϕ ∘ ζ_{l} = ady′ ∘ ξ_{l},

so daß die Bedingung (5.c) erfüllt ist. Es gilt auch

ε_{0}y′ = ε_{0}yc^{−1} = yγ_{l}^{0}c^{−1} = y′cγ_{l}^{0}c^{−1}

und

ϱ(cγ_{l}^{0}c^{−1}) = ϱ(cy^{−1}ε_{0}yc^{−1}) = cy^{−1}ε_{0}yc = cγ_{l}^{0}c^{−1},

weil a_{ϱ}yϱ(y^{−1}) mit ε_{0} vertauschbar ist. Es ist also γ_{l} = cγ_{l}^{0}c^{−1}, und β′_{0}(l) ist durch den Kozykel {yϱ(y)^{−1}} definiert und β′(l) durch {y′ϱ(y′)^{−1}} = {a_{ϱ}yϱ(y)^{−1}}. Die Gruppe G′(ε_{0}) ist durch den Kozykel {yϱ(y)^{−1}} definiert und wir bekommen G(ε_{0}) aus G′(ε_{0}) mittels des Kozykels {ϱ(y)y^{−1}}. Wir wenden Lemma 5.18 auf G′(ε_{0}), G(ε_{0}) statt G, G′ an, um Lemma 5.27 an der Stelle l zu folgern.

Die dem Satz 5.21 vorangehenden Bemerkungen können auf 𝒥 angewendet werden. Infolgedessen ist H^{1}(Q_{p}, 𝒥 ∩ G_{der}) = {1} und H^{1}(Q_{p}, 𝒥_{ϕ_{0}} ∩ G_{der}) = {1}. Es ist klar, daß ϕ_{0} und ϕ dasselbe 𝒥 definieren. Da a die triviale Klasse in 𝒥_{ϕ_{0}} definiert, definieren ϕ_{0} und ϕ dasselbe Element in B(𝒥)_{b}. Hieraus folgt, daß mit ϕ_{0} auch ϕ ein zulässiger Homomorphismus ist. Bis auf die Existenz von x in der Bedingung (iii) ist es auch klar, daß das Paar (ϕ, ε_{0}) zulässig ist. Die Existenz von x wird wie beim Beweis von Satz 5.21 nachgeprüft. Somit ist Lemma 5.26 bewiesen.

ϕ_{0} und ϕ sind Abbildungen von 𝒬 nach 𝒢_{G(ε_{0})} ⫅ 𝒢_{G}. Um die Behauptung von Lemma 5.27 an der Stelle p nachzuprüfen, können wir ξ_{p} = ϕ ∘ ζ_{p} durch ξ′_{p} = adu ∘ ξ_{p} mit u ∈ G(ε_{0}) ersetzen, Wir können auch weiter annehmen, daß die Lokalisierung von a mittels eines Kozykels von Gal(Q_{p}^{un}/Q_{p}) gegeben ist. Es sei σ das Frobeniuselement. Dann ist b = a_{σ} ·b_{σ}. Somit folgt die Behauptung in p sofort aus Lemma 5.19, angewendet auf G(ε_{0}), G′(ε_{0}) und a_{σ}^{−1}. Anmerkung. Es seien 𝒟_{n}^{n} = 𝒟_{Ln}^{Ln} und 𝒟^{n} (bzw. 𝒟_{𝔨}^{n}) die durch Vorwärtsschieben mittels L_{n} ⫅ Q_{p}^{un} (bzw. L_{n} ⫅ 𝔨) und Zurückziehen mittels Gal(Q_{p}^{un}/Q_{p}) → Gal(L_{n}/Q_{p}) erhaltenen Grupen. Wir definieren 𝒟_{n}^{n} mittels des fundamentalen Kozykels a_{σ^{i},σ^{j}} = 1, 0 ≦ i, j < n, i + j < n, a_{σ^{i},σ^{j}} = p^{−1}, 0 ≦ i, j < n, i + j ≧ n. Wenn σ das Frobeniuselement in Gal(Q_{p}^{un}/Q_{p}) ist, dann ist in 𝒟^{n} und 𝒟_{𝔨}^{n} die n^{te} Potenz von d_{σ} gleich p^{−1}. Es bilden also die Homomorphismen 𝒟^{mn} → 𝒟^{n} (bzw. 𝒟_{𝔨}^{mn} → 𝒟_{𝔨}^{n}), die durch x → x^{m}, x ∈ (Q_{p}^{un})^{×} (bzw. 𝔨^{×}), d_{σ} → d_{σ} eine verträgliche Familie. In 𝒟_{𝔨}^{n} ist jedes Element xd_{σ} mit x ∈ 𝔨^{×}, |x| = 1 zu d_{σ} konjugiert.

Jeder Homomorphismus ξ_{p} : 𝒟 → 𝒢_{G} ist nach dem Satz von Steinberg (siehe [Se], S. 3) zu einem Homomorphismus ξ′_{p} äquivalent, der aus

ξ′_{p} : 𝒟^{n} → G(Q_{p}^{un}) × Gal(Q_{p}^{un}/Q_{p})

abgeleitet werden kann. Nehmen wir an, daß ξ_{p} selbst so definiert werden kann.

Das Element ξ(w), das in der Definition von X_{p} auftritt, ist dann nichts anderes als ξ_{p}(d_{σ}). Allgemein ist ξ_{p}(d_{σ}) = b × σ, und b definiert eine Klasse in B(G), die nur von der Klasse von ξ_{p} abhängt. Wenn wir n noch genug wählen, ist das nν, das in [K4], Gl. (4.3.3) vorkommt, die Einschränkung von ζ_{p}^{−1} auf (Q_{p}^{un})^{×} ⫅ 𝒟^{n}, die ein Homomorphismus von algebraischen Gruppen ist. Wir bekommen auf diese Weise eine Abbildung von C(G), den Klassen in Hom(𝒟, 𝒢_{G}) nach B(G). Es sei C(G)_{b} das Urbild um B(G)_{b}. Wir wissen nicht, ob C(G) → B(G)_{b} bijektiv ist. Aber es folgt leicht aus [K4], daß C(G)_{b} → B(G)_{b} bijektiv ist.

Für Tori hat man den Funktor C(T) → B(T) sowie den Funktor μ → ξ_{−μ} von X_{∗}(T) nach C(T). Da ζ_{−μ}(d_{σ}) = p^{μ} × σ, bildet die Verkettung 1 ∈ X_{∗}(G_{m}) auf b = p ab. Es folgt daher aus Lemma 2.2 von [K4], daß die Verkettung ein Isomorphismus ist. Folglich ist C(T) → B(T) surjektiv. Sie ist injektiv, weil die Anzahl der Klassen aus C(T) ( bzw. B(T)) mit einem gegebenen ν gleich |H^{1}(Q_{p}, T)| ist. Für eine allgemeine Gruppe wird die Injektivität auch auf diese Weise bewiesen. Die Surjektivität folgt aus [K4], Prop. 5.3.

§6. DIE VERMUTUNG ALS FOLGE DER STANDARDVERMUTUNGEN IN EINIGEN FÄLLEN In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, daß für gewisse Shimuravarietäten die Vermutung im §5 eine

Folge der Identifizierung der pseudomotivischen Galoisgruppe und der motivischen Galoisgruppe ist, die im §4 unter Annahme der Standardvermutungen und der Tate-Vermutung sowie der Hodge-Vermutung vorgenommen wurde. Dabei lehnen wir uns ziemlich stark an Zink’s Arbeit [Z2] an, so daß vom Leser eine wenigstens oberflächliche Kenntnis dieser Arbeit verlangt wird. Wir beginnen mit der Definition der betreffenden Shimuravarietäten und erinnern an einige gruppentheoretische Tatsachen, für deren Beweise wir auf [De3] und [Z2] verweisen.

Es sei D eine einfache endlichdimensionale Q-Algebra vom Grad d^{2} über ihrem Zentrum L, die mit einer positiven Involution x → x^{∗} versehen ist. Es sei L_{0} der Invariantenkörper der Involution in L. Es sei (V, ψ) ein symplektischer D-Modul, d.h. ein D-Modul, der mit einer nichtausgearteten alternierenden Q-Bilinearform versehen ist, für die

ψ(xu, v) = ψ(u, x^{∗}v), x ∈ D, u, v ∈ V.

Es sei dim_{Z} V = d · m und [L_{0} : Q] = n. Wir nehmen an, daß (D, ∗) von einem der folgenden beiden Typen ist.

(A) Die Involution ist von zweiter Art, d.h. induziert einen nichttrivialen Automorphismus von L. Dann ist L_{0} ein total-reeller Zahlkörper.

(C) Die Involution ist von erster Art, d.h. induziert den trivialen Automorphismus auf L. Falls K ⫆ L ein Zerfällungskörper von D ist, so finden wir einen Isomorphismus D ⊗_{L} K ≅ M_{d}(K) und eine K-lineare Fortsetzung der Involution. In Matrixschreibweise soll gelten: x^{∗} = c^{t}xc^{−1} mit ^{t}c = c. In diesem Fall ist L ein total-reeller Zahlkörper.

Es sei G die Gruppe der symplektischen L_{0}-Ähnlichkeiten, aufgefaßt als algebraische Gruppe über Q.

G = {g ∈ GL_{D}(V)|ψ(gu, gv) = ψ(c(g)u, v), c(g) ∈ L_{0}^{×}}.

Dies ist eine zusammenhängende reduktive Gruppe über Q, deren derivierte Gruppe einfach-zusammenhängend ist ([De3], 5.8). (Im Fall (A) ist G_{der} ein Produkt von speziellen unitären Gruppen, im Fall (C) ein Produkt von symplektischen Gruppen). Die Gruppen G und G_{der} erfüllen das Hasseprinzip ([De3], 5.11). Weiterhin gibt es einen Homomorphismus

h : \underline{S} → GR,

der bis auf Konjugation dadurch charakterisiert ist, daß die auf V induzierte Hodgestruktur vom Typ (+1, 0) + (0, +1) ist und daß ψ(u, h(i)v) symmetrisch und positiv-definit ist ([Z2], 3.1). Das Paar (G, h) definiert eine Shimuravarietät, wobei zu bemerken ist, daß der Gewichtshomomorphismus μ + μ̄ : G_{m} → G über Q definiert ist und X_{∗}(G_{ab}) die Serre-Bedingung (3.e) erfüllt. Durch

t(x) = Tr(x|V_{h}^{1,0}), x ∈ D,

wird der D-Modul V bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ([De3], 5.10). Es sei

E = E(G, h) = Q(t(x)), x ∈ D.

Dies ist der Shimurakörper. (Im Fall (C) ist E = Q.) Es sei K ⫅ G(A_{f}) eine offene kompakte Untergruppe. Die Shimuravarietät Sh_{K}(G, h) besitzt ein kanonisches Modell über E und ist ein grobes Modulschema für das Modulproblem auf (Sch/E), das einem E-Schema S folgende Daten zuordnet.

(6.a) (i) Ein abelsches D-Schema bis auf Isogenie A, ι : D → End A, so daß

Tr(x|Lie^{∗}A) = t(x), x ∈ D.

Hier bezeichnet Lie^{∗}A den Kotangentialraum von A.

(ii) Eine L_{0}-homogene Polarisierung Λ, die auf D die Involution ∗ induziert. (iii) Eine Klasse von D-Modulisomorphismen von Garben für die Etaltopologie

η̄: H^{1}(A, A_{f}) ˜ ⟶ V ⊗ A_{f} mod K,

die die Bilinearformen auf beiden Seiten bis auf eine Konstante aus L_{0} ⊗ A_{f} erhalten.

Hier wird mit H^{1}(A, A_{f}) = ∏ H^{1}(A, Q_{l}) die l-adische Kohomologie mit Koeffizienten aus A_{f} bezeichnet. Wir fixieren jetzt wieder unsere Primzahl p. Es seien eine Ordnung O_{D} in D und ein O_{D}-invariantes

Gitter V_{Z} in V gewählt, so daß

(6.1) a) p ist unverzweigt in D, b) D ⊗ Q_{p} ist ein Produkt von Matrixalgebren und O_{D} ⊗ Z_{p} ist eine Maximalordnung,

c) ψ : V_{Z_{p}} × V_{Z_{p}} → Z_{p} ist eine perfekte Paarung.

Dann ist ∗(O_{D} ⊗ Z_{p}) = O_{D} ⊗ Z_{p}. Es sei
K_{p} = G(Q_{p}) ∩ End_{O_{D}}V_{Z_{p}}.

Dann ist G über Q_{p} quasizerfallend und über einer unverzweigten Erweiterung zerfallend, und K_{p} ⫅ G(Q_{p}) ist die Gruppe der ganzwertigen Punkte, also ([T], 3.8) eine hyperspezielle Untergruppe. Es sei K = K^{p} ·K_{p}. Um ein Modell von Sh_{K} über Spec 𝒪_{E} ⊗ Z_{(p)} zu definieren, formulieren wir das Modulproblem (6.a) um. Ein Punkt dieses Modulproblems mit Werten in einem 𝒪_{E} ⊗ Z_{(p)}-Schema S besteht aus:

(6.b) (i) Ein abelsches O_{D}-Schema A bis auf zu p prime Isogenie, so daß

Tr(x|Lie^{∗}A) = t(x), x ∈ O_{D}.

(ii) Eine L_{0}-homogene Polarisierung Λ, die auf D gegebene Involution ∗ induziert, so daß ein

λ ∈ Λ existiert, dessen Grad prim zu p ist.

(iii) Eine Klasse von O_{D} ⊗ A_{f}^{p}-Modulisomorphismen von Garben für die Etaltopologie

η̄: H^{1}(A, A_{f}^{p}) V ⊗ A_{f}^{p} mod K^{p},

die die beiden Bilinearformen bis auf eine Konstante aus L_{0} ⊗ A_{f}^{p} erhalten.

Wir verweisen auf [Z2], 3.5 für einen Beweis der Tatsache, daß die Modulprobleme (6.a) und (6.b) über Spec E übereinstimmen. Wie im §5 bezeichne 𝒪_{𝔭} den Ring der ganzen Zahlen in E_{𝔭}. Satz 6.2. Das Modulproblem (6.b) besitzt ein grobes Modulschema über Spec (𝒪_{𝔭}). Falls K^{p} genügend klein ist, so ist das Modulschema glatt und im Fall, daß L_{0} = Q, auch ein feines Modulschema.

Wir begnügen uns mit einer Skizze des Beweises, der ähnlich dem Beweis des entsprechenden Satzes 1.7 von [Z2] ist. Das O_{D}-Gitter η^{−1}(V_{Z} ⊗ Z̄^{p}) ⊂ H^{1}(A, A_{f}^{p}) ist unabhängig von der Wahl von η ∈ η̄ und definiert ein abelsches O_{D}-Schema B aus der Isogenieklasse A, das mit einem O_{D}-Modulisomorphismus η̄: H^{1}(B, Ẑ^{p}) ≅ V_{Z}⊗Ẑ^{p} mod K^{p} ausgestattet ist. Man überzeugt sich auf diese Weise, daß das Modulproblem (6.b) äquivalent zu folgendem Modulproblem ist.

(6.c) (i) Ein abelsches O_{D}-Schema B, so daß

Tr(x|Lie^{∗}B) = t(x), x ∈ O_{D}.

(ii) Wie in (6.b), (ii).

(iii) Eine Klasse von O_{D}-Modulisomorphismen

η̄: H^{1}(B, Z̄^{p}) V_{Z} ⊗ Ẑ^{p} mod K^{p},

die die beiden Bilinearformen bis auf eine Konstante aus L_{0} ⊗ A_{f}^{p} erhalten.

Aus der Methoden von Mumford [Mu2] (oder denen von Artin [A], wenn man sich mit der Konstruktion eines algebraischen Raumes zufrieden gibt) erhalten wir die Existenz eines feinen Modulschemas, falls wir in (ii) die Vorgabe einer effektiven involutionstreuen Polarisierung fordern und falls K^{p} genügend klein genommen wird. Falls (B, Λ, η̄) ein T -wertiger Punkt des Modulproblems (6.c) ist und λ ∈ Λ prim zu p und η ∈ η̄, so ist, falls E^{λ} die zugehörige Riemannform bezeichnet,

ψ(η(x), η(y)) = E^{λ}(tx, y), x, y ∈ H^{1}(B, Ẑ^{p})

für ein t ∈ L_{0}^{×}(A_{f}^{p}). Die Restklasse τ(B, c, λ, η̄) von t in dem Gal(Q̄_{p}/E_{p})-Modul

(L_{0}^{×}(A_{f}^{p})/c(K^{p}))(+1)

ist von der Wahl von η ∈ η̄ unabhängig und kann als Schnitt dieser Garbe über T aufgefaßt werden. Dabei unterscheiden sich zwei Polarisierungen λ und λ′ um ein totales positives Element aus L_{0}, das eine Einheit in p ist. Wir erhalten somit einen nur von (B, Λ, η̄) abhängigen Schnitt von L_{0}^{+}\L_{0}^{×}(A_{f})/c(K)(+1). Es seien τ_{1}, …, τ_{r} Schnitte von L_{0}^{×}(A_{f}^{p})/c(K_{p})(+1) über einer endlichen unverzweigten Erweiterung R von 𝒪_{𝔭}, die ein Repräsentantensystem darstellen. Wir betrachten das folgende Modulproblem auf (Sch/R):

(6.d) (i) wie in (6.c) (i).

(ii) Eine involutionstreue Polarisierung λ, die in p prinzipal ist. (iii) Eine Klasse von O_{D}-Modulisomorphismen

η̄: H^{1}(B, Ẑ^{p}) ⟶ V_{Z} ⊗ Ẑ^{p} mod K^{p},

so daß τ(B, c, λ, η̄) = τ_{i} für ein i = 1, …, r.

Falls wir die τ_{i} so wählen, daß sie Repräsentanten ganzer Idele sind, so ist λ eine effektive Polarisierung, deren Grad von τ_{i} bestimmt ist. Folglich ist nach Mumford das Modulproblem (6.d) für hinreichend kleines K^{p} durch ein quasiprojektives R-Schema ℳ̃_{K} darstellbar. Dabei operiert die Gruppe L_{0}^{+} ∩ c(K) durch Abänderung der Polarisierung auf ℳ̃_{K} (aufgefaßt als 𝒪_{𝔭}-Schema). Man überzeugt sich leicht davon, daß diese Action sich über den endlichen Quotienten L_{0}^{+} ∩ c(K)/c(L^{×} ∩ K) faktorisiert und daß der Quotient ein grobes Modulschema für das Modulproblem (6.c) über Spec 𝒪_{𝔭} ist. Falls L_{0} = Q, so ist L_{0}^{+} ∩ c(K) trivial. Wir zeigen, daß in allgemeinen für hinreichend kleines K^{p} die Aktion von L_{0}^{+} ∩ c(K) auf ℳ̃_{K} frei ist. Sei ζ ∈ L_{0}^{+} ∩ c(K) und

α : (B, ι, λ, η̄) ˜→(B, ι, ζλ, η̄)

ein Isomorphismus. Wir müssen zeigen, daß ζ ∈ c(Z^{×} ∩ K). Es sei K′ = K′^{p} · K_{p} eine hinreichend kleine offene kompakte Untergruppe. Wir betrachten nur K ⊂ K′ und bezeichnen mit η̄′ die Äquivalenzklasse von η̄ mod K′. Dann gibt es höchstens einen Isomorphismus

α′ : (B, ι, λ, η̄) ˜→(B, ι, ζλ, η̄′).

Es sei K so klein gewählt, daß L_{0}^{+}∩c(K) ⫅ (L_{0}^{×}∩K′)^{2}. Dann ist ζ = ζ_{1}^{2} und ζ_{1} definiert einen Isomorphismus zwischen (B, ι, λ, η̄′) und (B, ι, ζλ, η̄′). Aber dann stimmet ζ_{1} mit α überein und folglich ist ζ_{1} ∈ K und ζ = ζ_{1}^{2} ∈ c(L^{×} ∩ K).

Um uns von der Glattheit von ℳ̃_{K} zu überzeugen, müssen wir zeigen, daß es keine Deformationsobstruktionen gibt. Wir verwenden die Theorie von Grothendieck und Messing [Me]. Dazu sei T ⫅ T′ eine Nilimmersion von affinen R-Schemata, auf denen p nilpotent ist und die dividierte Potenzen besitzt. Es sei (B, ι, λ, η̄) ein T -wertiger Punkt des Modulproblems (6.d). Wir betrachten den Wert des Dieudonnékristalls in T′,

D(B)_{(T,T′)},

das mit einer Aktion von O_{D} und einer alternierenden perfekten Bilinearform E^{λ} mit Werten in 𝒪_{T′} ausgestattet ist, die die Identität

E^{λ}(xu, v) = E^{λ}(u, x^{∗}v)

erfüllt. Seine Einschränkung auf T ist mit der Hodge-Filtration ausgestattet, die total isotrop bezüglich E^{λ} ist und für die

Tr(x|Fil) = t(x), x ∈ O_{D}.

Es muß gezeigt werden, daß sich diese Filtration in eine total isotrope Filtration von D_{(T,T′)} liften läßt. Die Zerlegung O_{F} ⊗ Z_{p} = ∏ O_{F_{v}} liefert eine orthogonale Zerlegung von (D_{(T,T′)}, E^{λ}) = ⨁(D′_{v}, E′_{v}).

Im Fall (C) ist L_{0} = L. Wir wählen einen Isomorphismus O_{D} ⊗_{O_{L}} O_{L_{v}} ≅ M_{d}(O_{L_{v}}). Dann wird die Involution ∗ durch eine perfekte symmetrische Paarung β auf O_{Z}^{d} induziert, vgl. [Z2], 2.9. Wir führen die Bilinearform Ẽ′_{v} mit Werten in O_{L_{v}} ⊗ 𝒪_{T′} ein:

Tr_{L_{v}/Q_{p}}f · Ẽ′_{v}(u, w) = E′_{v}(u, f · w), f ∈ O_{L_{v}}.

Dann zerlegt sich der M_{d}(O_{L_{v}}) ⊗ 𝒪_{T′}-Modul (D′_{v}, Ẽ′_{v}) in D′_{v} = O_{L_{v}}^{d} ⊗ V′, Ẽ′_{v} = β ⊗ Φ′, wobei Φ′ eine alternierende perfekte Bilinearform auf dem 𝒪_{T′}-Modul V′ ist. Entsprechendes gilt für D_{(T,T)}. Dabei ist Fil_{v} ⊂ D_{v} durch einen total isotropen (bzgl. Φ) Teil einer Basis von V erzeugt. Da man diese Basis in eine ebensolche Basis von V′ liften kann, folgt die Behauptung.

Den Fall (A) behandelt man analog (vgl. [Z2], 3.4).

Damit ist unsere Skizze des Beweises von Satz 6.2 beendet. Wir haben ein glattes Modell über 𝒪_{𝔭} gewonnen, dessen Punkte über F = κ̄ wir analysieren wollen, unter Annahme der Gültigkeit der Resultate des §4. Ein spezieller Punkt des Modulproblems (6.b) ist durch folgende Daten definiert ([Z2], 4.2): Ein Punkt (A, ι, Λ, η̄) des Modulproblems, eine CM-Algebra R (=Produkt von CM-Körpern) mit dim_{Q}R = 2 dim A/d, und eine involutionstreue Einbettung

ϑ_{Λ} : R → End_{D}^{0}A.

Es sei (A, ι, Λ, η̄, R, ϑ) ein spezieller Punkt über C. Dann ist D ⊗_{L} R eine Matrixalgebra über R ([Z2], 2.8) und wir erhalten eine Zerlegung A ≅ B^{d}, wobei B eine abelsche Mannigfaltigkeit mit komplexer Multiplikation (R, Φ) ist. Es sei

μ : C^{×} → (R ⊗ C)^{×} = ∏_{φ∈Φ} C^{×} × ∏_{φ∈Φ} C^{×}, z ↦ ∏ φ(z) × ∏ 1.

Es sei T = {r ∈ R^{×}|r · r̄ ∈ L_{0}}, wobei r ↦ r̄ die Rosatiinvolution auf R bezeichnet. Dann ist T ein maximaler über Q definierter Torus von G, der obige Homomorphismus faktorisiert sich über T und ist von der Form μ = μ_{h} für ein h : \underline{S} → G_{R} aus der Konjugationsklasse, die von uns fixiert wurde. Somit definiert (A, ι, Λ, η̄, R, ϑ) einen speziellen Punkt von Sh_{K}(C) im üblichen Sinne ([De1], 2.2.4). Der Modul X_{∗}(^{K}S) enthält ein ausgezeichnetes Element μ = μ_{S}, das ihn erzeugt. Da X_{∗}(G_{ab}) die Serre-Bedingung (3.e) erfüllt, erfüllt auch X_{∗}(T) sie, und es gibt für genügend große Körper K einen über Q definierten Homomorphismus ψ : ^{K}S → T, der μ_{S} nach μ schickt. Es sei G^{0} = {g ∈ G|c(g) ∈ Q^{×}}. Dann ist μ ein Kogewicht von T^{0} = T ∩ G^{0} und ψ : ^{K}S → T^{0}. Wir bezeichnen auch mit ψ den entsprechenden Homomorphismus

𝒢_{S} ⟶ 𝒢_{Γ^{0}} ⟶^{ψ_{T^{0},μ}}𝒢_{G^{0}} ⫅ 𝒢_{G}.

Weil 𝒢_{S} die motivische Galoisgruppe der von den abelschen Varietäten vom CM-Typ erzeugten Tannakakategorie ist, definiert ψ ein Motiv mit zusätzlicher Struktur, und zwar den homogenen Bestandteil vom Grad 1 von (A, ι, λ, R, ϑ) mit λ ∈ Λ. Wir führen den Begriff der Isogenie zwischen zwei Punkten (A_{1}, ι_{1}, Λ_{1}, η̄_{1}) und (A_{2}, ι_{2}, Λ_{2}, η̄_{2}) des Modulproblems (6.b) ein: das ist eine Isogenie α : A_{1} → A_{2}, die mit ι_{1} und Λ_{1} und ι_{2} und Λ_{2} verträglich ist. Die Trivialisierung des Tatemoduls geht also nicht ein. Eine Isogenie prim zu p ist nichts anderes als ein Isomorphismus

α : (A_{1}, ι_{1}, Λ_{1}) ⟶^{∼} (A_{2}, ι_{2}, Λ_{2}).

In Termen des Modulproblems (6.c) ist eine Isogenie von abelschen Varietäten, β : B_{1} → B_{2}, die die Aktionen von O_{D} und die Polarisationsklassen respektiert. Man spricht von einer Isogenie von speziellen Punkten, falls es einen Isomorphismus R_{1} ≅ R_{2} gibt, so daß die Isogenie zusätzlich die Aktion ϑ_{1} in die Aktion ϑ_{2} überführt. Satz 6.3. Die Menge der Isogenieklassen von Punkten von Sh(κ̄) steht in eineindeutiger Beziehung zu den Äquivalenzklassen von zulässigen Homomorphismen ϕ : 𝒫 → 𝒢_{G}.

Wir nehmen allerdings an, daß 𝒫 ≅ ℳ in 𝒢_{S}. Nach Definition von ℳ entspricht dem einer abelschen Varietät zugeordneten homogenen Motiv M^{1}(A) vom Grad 1 ein Homomorphismus ϕ : ℳ → 𝒢_{V′}. Da

Hom(M^{1}(A), M^{1}(A′)) ≅ Hom_{Q}(A, A′)

ist, wird A als abelsche D-Varietät definiert durch eine mit ϕ verträgliche Einbettung ι′ : D → End V′. Es wird gleichermaßen die duale Varietät A^{∗} durch den kontragredienten Homomorphismus ϕ^{∗} auf V′^{∗} definiert. Wenn T das Tate-Motiv ist, ist V′^{∗} = Hom(V′, T). Eine Polarisierung entspricht dann einem mit ϕ und ϕ^{∗} verträglichen Homomorphismus ψ : V′ → V′^{∗}, d.h. einer Bilinearform ψ′ auf V′, für die die Gleichung gilt

ψ′(ϕ(g)u, ϕ(g)v) = τ(g) · ψ′(u, v),

wenn τ die T entsprechende Wirkung auf Q̄ bezeichnet. Die Isomorphieklasse von (A, ι, λ) ist offensichtlich durch (V′, ι′, ψ′) bestimmt. Wegen der Existenz einer Normalform können wir annehmen, daß (V′, ι′, ψ′) = (V, ι, ψ). Dann liegt das Bild von ℳ in 𝒢_{G^{0}} ⫅ 𝒢_{V}. Zwei Homomorphismen ϕ_{1}, ϕ_{2} : ℳ → 𝒢_{G_{0}} sind äquivalent under G(Q̄) genau dann, wenn (A_{1}, ι_{1}, λ_{1}) ≅ (A_{2}, ι_{2}, cλ_{2}), c ∈ L_{0}^{×}. Es ist G_{ab}^{0} = Q^{×} ⫅ G_{ab} = L_{0}^{×}. Da das Kogewicht μ_{ab} sich durch G_{ab}^{0} faktorisiert, ist jedes zulässige ϕ : Q → 𝒢_{G} durch 𝒢_{G^{0}} faktorisierbar. Weil X_{∗}(G_{ab}) die Serre-Bedingung (3.e) erfüllt, faktorisiert sich ϕ auch durch 𝒫 = ℳ.

Um den Beweis zu beenden, genügt es zu zeigen, daß wenn (A, ι, Λ) aus (A, ι, Λ, η̄) hervorgeht, dann das zugehörige ϕ zulässig ist und umgekehrt. Das wäre wohl nicht schwer. Wir ziehen aber ein anderes Verfahren vor, das unmittelbar ohne Annahme unbeweisener Vermutungen schon jedem (A, ι, Λ, η̄) ein zulässiges ϕ und jedem zulässigen ϕ ein (A, ι, Λ, η̄) zuordnet, ohne aber zur Zeit einen Beweis der Bijektivität der so erhaltenen Korrespondenz zuzulassen. Im übrigen ist es nicht ohne weiteres verwendbar, wenn G über Q_{p} nicht quasizerfallend ist (vgl. zweites Beispiel im §7).

Da A bereits über einem endlichen Körper definiert ist, ist es eine abelsche Varietät vom CM-Typ, und wir können den Punkt (A, ι, Λ, η̄) als speziellen Punkt (A, ι, Λ, η̄, R, ϑ) auffassen. Nach dem Liftungssatz von Zink [Z2], §4.4, existiert ein diskreter Bewertungsring ungleicher Charakteristik 𝒪 mit Restklassenkörper κ̄ und ein spezieller Punkt (Ã, ι̃, Λ̃, ˜ η̄, R, ϑ̃), dessen Reduktion isogen zum Ausgangspunkt ist. Es sei (T, μ) der entsprechende Torus samt Kocharakter in G. Der Homomorphismus ψ_{T,μ} : 𝒫 → 𝒢_{S} → 𝒢_{T} ⊆ 𝒢_{G} ist zulässig. Da ϕ ≅ ψ_{T,μ} ist ϕ zuls̈sig. Umgekehrt, wenn ϕ zulässig ist, ist ϕ einem ψ_{T,μ} äquivalent. Es definiert ψ_{T,μ} uns (Ã, ι̃, Λ̃, ˜ μ̄, R, ϑ̃), das durch Reduktion (A, ι, Λ, η̄) liefert.

Im weiteren fixieren wir eine Isogenieklasse 𝒥 = (A, ι, Λ)_{Q} und den entsprechenden zulässigen Homomorphismus ϕ bis auf Äquivalenz. Wir bezeichnen mit 𝒥_{K} die Menge der Punkte von Sh_{K}(F) in 𝒥. Es sei r = [E_{𝔭} : Q_{p}], und q = p^{r} die Anzahl der Elemente von κ. Falls (A, ι, Λ, η̄) ein Punkt von Sh_{K}(F) ist, so ist das inverse Bild (A^{(q)}, ι^{(q)}, Λ^{(q)}, η̄^{(q)}) under der r-ten Potenz des Frobenius wieder ein Punkt von Sh_{K}(F). Die Existenz des relativen Frobenius

Fr^{r} : (A, ι, Λ, η̄) → (A^{(q)}, ι^{(q)}, Λ^{(q)}, η̄^{(q)}).

zeigt, daß wir eine Aktion von Gal(F/κ) auf 𝒥_{K} erhalten, die zudem in offensichtlicher Weise verträglich mit der Abänderung von K^{p} ist. Satz 6.4. Es gibt Bijektinen

𝒥_{K} ≅ X_{ϕ}(K),

so daß die Wirkung von Φ auf der Menge rechts (siehe 5.e) der Wirkung des Frobenius in Gal(F/κ) auf der Menge links entspricht und die verträglich mit der Abänderung von K^{p} sind.

Wir fixieren im folgenden einen Punkt (A_{0}, ι_{0}, Λ_{0}, η̄_{0}) von 𝒥_{K}, der die Reduktion modulo p eines speziellen Punkts (Ã_{0}, ι̃_{0}, Λ̃_{0}, ˜ η̄_{0}) ist und der wie im Beweis von 6.2 den Torus (T, μ) definiert.

Eine Isogenie zerlegt sich in die Verkettung einer Isogenie prim zu p und einer Isogenie vom p-Potenzgrad. Wenn ein Element η_{0} ∈ η̄_{0} fixiert wird, definiert ein Element g ∈ G(A_{f}^{p}) eine Isogenie vom Grade prim zu p:

(A_{0}, ι_{0}, Λ_{0}, η̄_{0}) → (A_{0}, ι_{0}, Λ_{0}, \overline{g^{−1} ∘ η_{0}}).

Dabei definieren zwei Elemente, die sich um ein Element aus K^{p} unterscheiden, dieselbe Isogenie. Umgekehrt wird jede Isogenie prim zu p durch ein wohlbestimmtes Element aus G(A_{f}^{p})/K^{p} vermittelt.

Eine Isogenie α : (A_{0}, ι_{0}, Λ_{0}) → (A, ι, Λ), deren Grad durch p teilbar ist, definiert (A, ι, Λ, η̄), wobei η̄ die Verkettung

H^{1}(A, A_{f}^{p}) ˜ ⟶^{α}H^{1}(A_{0}, A_{f}^{p})⟶^{η_{0}}V ⊗ A_{f}^{p}

ist. Wir betrachten die p-dividierbare Gruppe X_{0} von A_{0} und ihren kontravarianten Dieudonnémodul M_{0} ([Dem]). Der Kotangentialraum von X_{0} identifiziert sich in kanonischer Weise mit M_{0}/F M_{0} ([Fo], III.4.3). Dann ist M_{0} ausgestattet mit einer Aktion von O_{D} ⊗ Z_{p} und einer Klasse von perfekten alternierenden Bilinearformen ψ, die sich alle um eine Einheit aus O_{L_{0}} ⊗ 𝒪_{t} unterscheiden. Hier bezeichnet 𝒪_{𝔨} den Ring der Wittvektoren von F. Wir erweitern die Aktion von D ⊗ Q_{p} und die Klasse der alternierenden Bilinearformen auf den rationalen Dieudonnémodul M_{0Q}. Es sei Y_{p} die Menge der Untergitter M ⊂ M_{0Q}, die folgende Bedingungen erfüllen:

(i) M ist invariant under der Aktion von O_{D}.

(ii) Es gibt ein Element c(M) ∈ (L_{0} ⊗ 𝒪_{𝔨})^{×}, so daß der Dualraum bzgl. einer der Formen ψ gleich ist

M^{∗} = c(M) · M.

(iii) M ist V - und F -invariant, und es gilt

Tr(x|M/F M) = t(x)

(Gleichheit von Elementen von F). Hilfssatz 6.5. Die in (iii) geforderte V -Invarianz ist eine Folgerung der Bedingung (ii) und der F -invarianz.

Beweis. Es gilt

ψ(F u, F v) = p · ψ(u, v)^{σ},

wobei σ : 𝒪_{𝔨} → 𝒪_{𝔨} den Frobenius auf den Wittvektoren bezeichnet. Aus F V = p folgt

ψ(u, V v) = ψ(F u, v)^{σ^{−1}}.

Es folgt

(F M)^{∗} = V^{−1}M^{∗} = V^{−1} · c(M)M = c(M)^{σ^{−1}} · V^{−1}M.

Aus der Inklusion F M ⊂ M folgt somit V M ⊂ M.

Es sei α : (A_{0}, ι_{0}, Λ_{0}, η̄_{0}) → (A, ι, Λ, η̄) eine Isogenie. Der Dieudonnémodul von A wird mittels α zu einem Element von Y_{p}. Indem wir α in seine zu p prime Komponente und seine p-primäre Komponente zerlegen, erhalten wir also ein Element aus (G(A_{f}^{p})/K^{p}) × Y_{p}. Sein Bild in

Y (K) =_{Df} Aut(A_{0}, ι_{0}, Λ_{0})\G(A_{f}^{p})/K^{p} × Y_{p}

ist nur von (A, ι, Λ, η̄) ∈ 𝒥_{K}, nicht aber von der Wahl der Isogenie abhängig. In der Tat, wenn α eine Verkettung ist,

(A_{0}, ι_{0}, Λ_{0}, η̄_{0})⟶^{α^{p}}(A′, ι′, Λ′, η̄′)⟶^{α_{p}}(A, ι, Λ, η̄),

mit η = η′ ∘ α_{p}^{∗}, erhält man g, indem man η′ = g^{−1} ∘ η_{0} ∘ α^{p∗} schreibt. Dann faßt man α_{p} als eine Isogenie von A_{0} und A auf, um M(A) in M(A_{0}) einzubetten. Mittels η_{0} bildet man Aut(A_{0}, ι_{0}, Λ_{0}) in G(A_{f}^{p}) ab, und wenn man α durch α ∘ γ ersetzt, γ ∈ Aut(A_{0}, ι_{0}, Λ_{0}), dann wird g durch γ^{−1}g ersetzt. Es wird M(A) durch γ^{−1}M(A) ersetzt wobei zu bemerken ist, daß γ^{−1}M(A) nur von der p-primären Komponente von γ abhängt.

Wir zeigen zunächst, daß die soeben definierte Abbildung eine Bijektion von 𝒥_{K} auf Y (K) vermittelt. Die Theorie der Dieudonnémoduln zeigt sofort, daß jedes Element aus G(A_{f}^{p})/K^{p} × Y_{p} eine Isogenie α definiert, so daß die Surjektivität klar ist. Umgekehrt, falls α_{1} und α_{2} zwei Isogenien mit demselben Bild in Y (K) sind, so erhalten wir zwei Elemente in G(A_{f}^{p})/K^{p} × Y_{p}, die sich um ein Element α ∈ Aut(A_{0}, ι_{0}, Λ_{0}) unterscheiden. Es sei γ = \frac{1}{n} · γ′, wobei γ′ ein Endomorphismus der abelschen Varietät A_{0} ist (und n eine p-Potenz). Falls wir α_{1} durch α_{1} ∘ γ′ und α_{2} durch α_{2} ∘ n ersetzen, dürfen wir annehmen, daß die Elemente aus G(A_{f}^{p})/K^{p} × Y_{p}, die von α_{1} bzw. α_{2} definiert werden, identisch sind. Es seien

φ_{1} = α_{2}α_{1}^{−1}, und φ_{2} = α_{1}^{−1}α_{2}.

Falls wir zeigen können, daß φ_{1} und φ_{2} Morphismen in der Kategorie der abelschen Varietäten bis auf zu p prime Isogenie und nicht nur Isogenien sind, so definieren sie zueinander inverse Isomorphismen zwischen (A_{1}, ι_{1}, Λ_{1}) und (A_{2}, ι_{2}, Λ_{2}), die zudem noch mit den Niveaustrukturen verträglich sind. Es sei (mit einem neuen n) φ_{1} = \frac{1}{n} · φ′_{1} mit φ′_{1} ∈ Hom(A_{1}, A_{2}). Auf den Dieudonnémoduln erhalten wir eine Inklusion

φ′_{1}(M_{2}) ⫅ M_{1}.

Weil aber nach Voraussetzung die von α_{1} und α_{2} definierten Elemente aus Y_{p} identisch sind, ist φ′_{1}(M_{2}) ⫅ n · M_{1}, und somit faktorisiert sich φ′_{1} über den Quotienten von A_{1} nach seinen n-Teilungspunkten, so daß φ_{1} ein Morphismus ist. Entsprechend zeigt man, daß φ_{2} ein Morphismus ist. In der konstruierten Bijektion entspricht der Wirkung von Φ aud 𝒥_{K} dem Operator auf Y (K), der über die Y_{p}-Komponente wirkt und dort das Gitter M durch das Gitter F^{r}M ersetzt. Das folgt unmittelbar aus der Tatsache, daß der relative Frobenius Fr: A → A^{(p)} auf den Dieudonnémoduln eine Abbildung definiert, M^{(p)} → M, die das Gitter M^{(p)} mit F M identifiziert (siehe [Dem], p. 63).

Als nächstens wollen wir die Mengen Y (K) und X_{ϕ}(K) vergleichen. Nach Wahl einer D-linearen L_{0}- symplektischen Ähnlichkeit M_{0Q} ≅ V ⊗ 𝔨 operiert die Gruppe G(𝔨) ⋊ Gal(Q̄_{p}/Q̄_{p}) auf M_{0}. (V ist hier wieder ein D-Modul.) Die Menge der Gitter M ⊂ M_{0Q}, die die Bedingungen (i) und (ii) vor 6.5 erfüllen, bildet einen homogenen Raum unter G(𝔨) und kann mit 𝒳 = G(𝔨) · x^{0} identifiziert werden (Existenz einer Normalform.)

Wegen der Natur der Identifikation von 𝒫 mit ℳ bestimmt ξ_{p} = ϕ ∘ ζ_{p} den rationalen Dieudonnémodul (M_{0Q}, F) bis auf Isomorphie. Das bedeutet, daß es ein Element h_{1} ∈ G(𝔨) gibt, so daß

F = adh_{1}(F_{ϕ}),

wobei F_{ϕ} = ξ′(d_{σ}) der vor (5.d) konstruierte. “Frobenius” ist. Hierbei bezeichnet d_{σ} ∈ W_{L_{n}/Q_{p}} eine Liftung des Frobeniuselements aus Gal(L_{n}/Q_{p}) und ξ′ den aus ξ′_{p} = adh(ξ_{p}) : 𝒟_{L_{n}}^{L_{n}} → 𝒢_{G} zu seiner Konstruktion benutzten Homomorphismus der Weilgruppe W_{L_{n}/Q_{p}} nach G(𝔨) ⋊ Gal(𝔨/Q_{p}). In der obigen Gleichung ist natürlich die rechte Seite als der von dem dort stehenden Element definierte Operator auf M_{0Q} zu interpretieren. Wir zeigen, daß die Bedingung

inv (x^{1}, x^{2}) = μ,

wobei x_{i} dem Gitter M^{i} entspricht, gleichbedeutend ist mit der Inklusion

pM^{1} ⊂ M^{2} ⊂ M^{1},

so daß Tr(x|M^{1}/M^{2}) = t(x), x ∈ O_{D}.

Offenbar genügt es dazu überhaubt, zwei Gitter M^{1}, M^{2} zu finden, die die obige Bedingung erfüllen, und so daß für die entsprechenden Punkte x^{i} ∈ 𝒳 die Invariante gleich μ ist. Es sei T′ eine über Q_{p} definierte Cartanuntergruppe von G, die über 𝔨 zerfällt und μ′ ∈ X_{∗}(T′) ein Kogewicht, das zu μ konjugiert ist. Wir wählen im zu T′ gehörigen Apartment den zu T′(Z_{p}) gehörigen speziellen Punkt x^{1} ([T], §3.6.1), der einem Gitter M^{1} entspricht. Dann operiert T′(𝒪_{𝔨}) auf M^{1} und T′(F) auf M^{1}/pM^{1} und die so erhaltene Darstellung ist die Reduktion modulo p dar Darstellung von T′ auf V_{Q_{p}}. Wir setzen

M^{2} = p · M^{1} + ∑_{⟨μ′,x⟩=0} F_{χ} ⊂ M^{1},

wobei F_{χ} der zu χ gehörige Charakterraum ist. Weil μ′ zu μ konjugiert ist, sind dann die in M^{1}/M^{2} auftretenden Charaktere gerade diejenigen Charaktere χ, die in VC auftreten und für die ⟨μ, χ⟩ = 1 ist. Es gilt somit

Tr(x|M^{1}/M^{2}) = Tr(x|V_{h}^{1,0}) (mod p)

für x ∈ O_{D}. Es ist auch offenbar x^{2} = p^{μ′}x^{1}, so daß

inv (x^{1}, x^{2}) = −inv (x^{2}, x^{1}) = μ

(vgl. Beispiel vor 5.2). Wir erhalten, daß für M ∈ Y (K)

inv (M, F M) = μ.

Es folgt, daß h_{1} : 𝒳 → 𝒳 eine Bijektion zwischen X_{p} und Y_{p} herstellt, die den Operator Φ in die Aktion des Frobenius überführt, und daß g → h_{1} ·g ·h_{1}^{−1} einen Isomorphismus zwischen J_{ϕ} und Aut(M_{0_{Q}}, ι, Λ) definiert. Aus der Definition der motivischen Gerbe folgt, daß wir I_{ϕ} mit Aut(A_{0}, ι, Λ_{0}) identifizieren können, sowie auch die Operation von I_{ϕ} auf X^{p}/K^{p} × X_{p} mit der Operation von Aut(A_{0}, ι_{0}, Λ_{0}) auf G(A_{f}^{p})/K^{p} × Y_{p}, falls wir den durch die l-adische Kohomologie von A_{0} bestimmten Grundpunkt von X^{p}/K^{p} wählen und X_{p} mit Y_{p} bzw. J_{ϕ} mit Aut(M_{0Q}, ι_{0}, Λ_{0}) auf die oben angegebene Weise miteinander identifizieren. Wir erhalten die gewünschte Bijektion zwischen X_{ϕ}(K) und Y (K).

§7. ZWEI BEISPIELE

Das erste Beispeiel wird eine z-Erweiterung im Sinne von Kottwitz [K1] sein,

1 → A → G′ → G → 1,

so daß die Vermutung des §5 nicht gleichzeitig für G und G′ gelten kann. In diesem Beispiel können die derivierten Gruppen von G′ und G nicht gleichzeitig einfachzusammenhängend sein. Weiter unten werden wir eine Gruppe G′′ über Q konstruieren und ein h′′ : S → GR^{′′} mit folgenden Eigenschaften.

(7.a) (G′′, h′′) definiert eine Shimuravarietät. (7.b) Es sei Z′′ das Zentrum von G′′. Dann ist

H^{1}(Q, Z′′) = 0 und H^{1}(Q_{v}, Z′′) = 0

für jede Primstelle v von Q.

(7.c) Es sei Z′′_{der} das Zentrum von G′′_{der}. Dann ist

H^{2}(Q, Z′′_{der}) → ∏_{v} H^{2}(Q_{v}, Z′′_{der})

injektiv.

(7.d) Es existiert eine endliche algebraische Gruppe U über Q und eine Einbettung u′′ : U → Z′′_{der}, so daß

H^{2}(Q, U) → ∏_{v} H^{2}(Q_{v}, U)

nicht injektiv ist.

Wir betten U in einen induzierten Torus A ein

u : U → A

und setzen

G′ = A × G′′/(u × u′′)(U), G = G′′/u′′(U).

Dann ist G′ eine z-Erweiterung von G mit A wie oben und

G′_{der} = G′′_{der}, G_{der} = G′′_{der}/u′′(U).

Es sei Ḡ eine innere Twistung von G und Ḡ′ und Ḡ′′ die entsprechenden Twistungen von G′ und G′′.

Als nächstes definieren wir einen Kozyklus g′_{σ} mit Werten in Ḡ′, dessen Bild in Ḡ lokal überall trivial ist und in G_{ab} global trivial, dessen Bild in G′_{ab} aber nichttrivial ist. Weil A ein induzierter Torus ist, erhalten wir ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen

0 ⟶ H^{1}(Q, A/U) ⟶ H^{2}(Q, U) ⟶ H^{2}(Q, A)
↓ ↓ ^{∩} ↓
0 ⟶ ∏_{v} H^{1}(Q_{v}, A/U) ⟶ ∏_{v} H^{2}(Q_{v}, U) ⟶ ∏_{v} H^{2}(Q_{v}, A).

Der Pfeil in der letzten Spalte ist injektiv. Folglich ist die Klasse {a_{ϱ,σ}} ∈ H^{2}(Q, U), die lokal überall trivial ist und deren Existenz wir in (7.d) verlangt haben, das Bild einer Klasse aus H^{1}(Q, A/U). Es sei σ → a′_{σ} ∈ A eine Hochhebung eines Repräsentanten dieser Klasse. Der Rand dieser Kette ist ein 2-Kozykel mit Werten in Z′′_{der}, der lokal überall trivial ist und somit, wegen (7.c), trivial ist. Es sei {z_{σ}} eine Kokette, deren Rand gleich dem Inversen des Rands von {a′_{σ}} ist. Dann ist

σ → g′_{σ} = a′_{σ} · z_{σ}

ein Kozykel mit Werten in A · Z′′_{der}/U ⊂ Ḡ′. Sein Bild g_{σ} in Ḡ = Ḡ′′/U ist das Bild von z_{σ}. Weil G_{ab} = Ḡ′′/Ḡ′′_{der}, ist seine Klasse in G_{ab} offensichtlich trivial. Lokal ist

z_{σ} = v_{σ} · u_{σ},

wobei v_{σ} ein Kozykel mit Werten in Z′′_{der} ist und u_{σ} ∈ U. Folglich ist g_{σ} auch das Bild von v_{σ} und somit wegen (7.b) ein trivialer Kozykel. Somit stellt {g_{σ}} lokal überall die triviale Klasse in Ḡ dar.

Wir definieren h′ als 1 × h′′ und h als Verkettung von h′ und der Projektion von G′ nach G. Dann definieren (G′, h′) und (G, h) Shimuravarietäten. Die natürliche Abbildung 𝒢_{G′} → 𝒢_{G} ordnet jedem Homomorphismus ϕ′ : 𝒬 → 𝒢_{G′} einen Homomorphismus ϕ : 𝒬 → 𝒢_{G} zu.

Lemma 7.1. Zwei Homomorphismen ϕ′_{1} und ϕ′_{2}, die auf dem Kern denselben Homomorphismus nach G′_{ab} induzieren, und die äquivalente Homomorphismen ϕ_{1} und ϕ_{2} liefern, sind äquivalent.

Die Homomorphismen ϕ_{1} und ϕ_{2} seien gleich. Die folgende Sequenz ist exakt:

1 → U → G′ → G′_{ab} × G.

Aus den Voraussetzungen folgt somit leicht, daß ϕ_{1} und ϕ_{2} identische Homomorphismen auf dem Kern definierten. Die Behauptung folgt daher aus H^{1}(Q, A) = 0.

Wir hatten bereits gesehen (Bemerkung vor 5.3), daß Sh_{K′}(G′, h′) eine surjektive Überlagerung von Sh_{K}(G, h) mit der Faser

A(Q)\α^{−1}(K)/K′

ist. Wir wollen als nächstens zeigen, daß falls ϕ′ und ϕ zulässig sind, wobei ϕ durch ϕ′ geliefert wird, die Menge

Y_{ϕ′} = I_{ϕ′}\X′_{p} × X′^{p}/K′^{p}

eine surjektive Überlagerung der entsprechenden Menge X_{ϕ} ist mit derselben Faser. Somit kann die Vermutung des §5 nur dann für G′ und G gleichzeitig gelten, zumindest in kompatibler Weise, wenn jeder zulässige Homomorphismus ϕ von einem zulässigen Homomorphismus ϕ′ kommt. Wir werden weiter unten ein zulässiges ϕ′ finden, so daß ϕ′ auf dem Kern rational ist und I = G′. Dann sind ϑ_{ϕ′} = Ḡ′ und ϑ_{ϕ} = Ḡ innere Twistungen von G′ und G. Es sei {g′_{σ}} der oben konstruierte Kozykel und {g_{σ}} sein Bild in Ḡ. Dann ist

g · ϕ : 𝒬 → 𝒢_{G}

zulässig. In der Tat, weil das Bild von {g_{σ}} in G_{ab} trivial ist, bleibt die Gültigkeit der Bedingung (5.a) beim Übergang von ϕ zu g · ϕ erhalten und weil {g_{σ}} lokal überall trivial ist, bleiben die Bedingungen b)−d) erhalten. Der Homomorphismus g′ · ϕ′ liefert g · ϕ und ist nicht zulässig, da das Bild von g_{σ} in G′_{ab} nicht trivial ist. Falls es einen zulässigen Homomorphismus ϕ̃′ gäbe, der ϕ liefert, so müßte er auf dem Kern denselben Homomorphismus wie g′ · ϕ′ induzieren und somit wegen Lemma 7.1 mit g′ · ϕ′ übereinstimmen, was unmöglich ist.

Für den Beweis der obigen Behauptung präzisieren wir, daß wir G′ und G quasizerfallend über Q_{p} nehmen und daß K′_{p} und K_{p} hyperspeziell genommen sind. Der Torus A zerfällt über einer unverzweigten Erweiterung. Wir dürfen annehmen, daß die Einschränkung von ϕ′ auf den Kern über Q definiert ist. Dann ist I_{ϕ′} = ϑ_{ϕ′}(Q) und I_{ϕ} = ϑ_{ϕ}(Q), und die Sequenz

1 → A → ϑ_{ϕ′} → ϑ_{ϕ} → 1

ist exakt. Folglich ist

I_{ϕ′} → I_{ϕ}

surjektiv. Genauso schließt man, daß X′^{p} → X^{p} surjektiv ist. Weil auch G′(𝔨) → G(𝔨) surjektiv ist, ist 𝒳′ → 𝒳 surjektiv. Dabei ist

𝒳′ ⊂ ℬ(G′, 𝔨) = ℬ(A, 𝔨) × ℬ(G′′, 𝔨).

Es sei x′ = (g′y^{0}, g′x^{0}) ∈ 𝒳′ mit Bild in X_{p}:

inv (gx^{0}, F (gx^{0})) = μ′′ = μ.

Dann ist

\begin{aligned}inv ((g′y^{0}, g′x^{0}), F (g′y^{0}, g′x^{0})) & = inv ((g′y^{0}, g′x^{0}), (σ(g′)y^{0}, F g′x^{0})) \\ & = 0 + u′′, \end{aligned}

falls g′y^{0} rational über Q_{p} ist. Weil wir ein solches g′ immer finden können, ist X′_{p} → X_{p} surjektiv. Wir betrachten die Abbildung

X′_{p} × X′^{p} → X_{p} × X^{p}.

Wenn x′_{p} × x′^{p} und x̄′_{p} × x̄′^{p} dasselbe Bild in Y_{ϕ} haben, so ist für die Bilder in X_{p} × X^{p}

x̄_{p} × x̄^{p} = γ(x_{p} × x^{p})k^{p}, γ ∈ I_{ϕ}, k^{p} ∈ K^{p}.

Da I_{ϕ′} → I_{ϕ} surjektiv ist, können wir nach Abänderung von x̄′_{p} × x̄′^{p} mit γ′ annehmen, daß γ = 1 ist. Dann ist

\begin{matrix}x̄′_{p} = a · x′_{p}  a ∈ A(Q_{p}), \\ x̄′^{p} = x′^{p}g′  g ∈ α^{−1}(K^{p}). \end{matrix}

Das heißt, daß Y_{ϕ′} → Y_{ϕ} eine surjektive Überlagerung ist mit Faser

A(Q)\α^{−1}(K^{p}) · A(Q_{p})/K′^{p} · V,

wobei V der Stabilisator von y^{0} in A(Q_{p}) ist. Die Behauptung folgt, weil K′_{p} → K_{p} surjektiv ist und

α^{−1}(K_{p})/K′_{p} ≅ A(Q_{p})/V.

Es bleibt die Konstruktion eines Beispiels. Es sei L eine total imaginäre quadratische Erweiterung eines total reellen Zahlkörpers L_{0}. Es sei J eine 4-dimensionale hermitesche Form mit Koeffizienten aus L und H_{J} die entsprechende Gruppe der unitären Ähnlichkeiten

H_{J}(Q) = {A ∈ GL(4, L)|A^{∗}JA = λ · J}.

Das Zentrum von H_{J} ist L^{×}. Die Gruppe G′′ wird ein Produkt der Form

G′′ = ∏_{(L^{i},L_{0}^{i},J^{i})} H_{J^{i}}

sein und h′′ wird wie üblich gewählt, so daß (7.a) gilt. Die Eigenschaft (7.b) ist offensichtlich. Um (7.c) zu überprüfen, genügt es G′′ = H_{J} zu betrachten. Dann ist Z′′_{der} der induzierte Modul

Z′′_{der} = Ind_{Gal(Q^{}¯ /L_{0})}^{Gal(Q̄/Q)}Z/4.

Es ist zu zeigen, daß

H^{2}(L_{0}, Z/4) → ∏_{v} H^{2}(L_{0_{v}}, Z/4)

injektiv ist oder, was nach dem Satz von Poitou-Tate ([Se 1], S.II-49) äquivalent ist, daß

H^{1}(L_{0}, μ_{4}) → ∏_{v} H^{1}(L_{0_{v}}, μ_{4})

inektiv ist. Das ist eine Folge des Satzes von Grunewald-Wang ([AT], Chap. 10, Th. 1), weil −1 ∈ L_{0} kein Quadrat ist.

Angenommen wir können eine total reelle Galoiserweiterung L_{0} von Q finden und einen Galoismodul U über Gal(L_{0}/Q) mit 4U = 0, und so daß die Lokalisierungsabbildung in (7.d) nicht injektiv ist. Dann können wir offenbar G′′ wie oben finden, so daß U in Z′′_{der} eingebettet werden kann. Anstelle von U konstruieren wir

V = Hom(U, μ_{4}).

Wir verlangen somit, daß 4V = 0, daß V ein Gal(L/Q)-Modul ist für eine galois’sche CM-Erweiterung L von Q, für die die komplexe Konjugation ι als −1 operiert, und daß

H^{1}(Q, V) → ∏_{v} H^{1}(Q_{v}, V)

nicht injektiv ist. Wir imitieren das Verfahren von Serre ([Se1], S. III-39). Es sei

\begin{aligned}L & = Q(\sqrt{−1}, \sqrt{73}, \sqrt{89}) = Q\sqrt{−1}) · Q\sqrt{73}, \sqrt{89}) \\ & = K · L_{v}, \end{aligned}

mit K = Q(\sqrt{−1}). Dann ist

Gal(L/Q) = Gal(L/L_{0}) × Gal(L/K)
≅ Z/2 × (Z/2 ⊕ Z/2).

Man überprüft leicht, daß alle Zerlegungsgruppen überall trivial oder zyklisch der Ordnung 2 sind. Dies ist klar in den archimedischen Stellen und den Stellen außerhalb 2, 73 und 89, weil dort die Erweiterung L unverzweigt ist. In Q_{2} sind 73 und 89 Quadrate, denn 73 ≡ 89 ≡ 1 mod 8. Entsprechend ist

(\frac{−1}{73}) = 1, (\frac{89}{73}) = (\frac{16}{73}) = 1

und

(\frac{−1}{89}) = 1, (\frac{73}{89}) = (\frac{−16}{89}) = 1.

Es sei

M = Ind_{Gal(L/L_{0})}^{Gal(L/Q)}μ_{4}.

Dann ist M die Menge der μ_{4}-wertigen Funktionen auf Gal(L/K) und ι operiert als −1. Es sei Gal(L/K) = {1, ϱ_{1}, ϱ_{2}, ϱ_{3}}.

Es sei

V_{0} = {(ε_{ϱ})|ε_{ϱ} = ±1, ∏_{ϱ∈Gal(L/K)} ε_{ϱ} = 1}

und

V = V_{0} ∪ V_{0} · v

mit

v = (α, −α, −α, −α), α ∈ μ_{4}, α ≠ ±1.

Dann ist V ein Gal(Ł/Q)-Modul. Wir haben ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen

H^{0}(Q, M)  ⟶  H^{0}(Q, M/V)  ⟶  H^{1}(Q, V)  ⟶  H^{1}(Q, M)
↓  ↓  ↓  ^{∩} ↓
∏_{v} H^{0}(Q_{v}, M) ⟶ ∏_{v} H^{0}(Q_{v}, M/V) ⟶ ∏_{v} H^{1}(Q_{v}, V) ⟶ ∏_{v} H^{1}(Q_{v}, M).

Dabei ist nach dem Grunewald’schen Satz der rechte senkrechte Pfeil injektiv, weil −1 ∈ L_{0} kein Quadrat ist. Um zu zeigen, daß die Lokalisierungsabbildung für V nicht injektiv ist, genügte es also, ein Element y aus M/V zu finden, das für jedes σ ∈ Gal(L/Q) die Restklasse eines σ-invarianten Elements y_{σ} aus M ist, das aber nicht die Restklasse eines Gal(L/Q)-invarianten Elements ist. Die Restklasse y von (1, −1, −1, −1) ist ein solches Element. In der Tat ist es nicht Bild eines Gal(L/Q)-invarianten Elements, denn nur ±(1, 1, 1, 1) sind invariant.

(i) σ = ι. Dann wählen wir y_{σ} = (1, −1, −1, −1).

(ii) σ ∈ Gal(L/K). Dann wählen wir y_{σ} = (α, α, α, α).
(iii) σ = ι · ϱ, ϱ ∈ Gal(L/K). Dann wählen wir y = (z_{1}, z_{ϱ}, z_{τ} , z_{τϱ}) mit
z_{1} = α, z_{ϱ} = −α, z_{τ} = α, z_{τϱ} = −α.

Wir brauchen schließlich ein ϕ′, so daß ϑ_{ϕ′} eine innere Form von G′ ist. Wir definieren ϕ′ als ψ_{T′,μ′} mit zweckmäßiger Wahl von (T′, μ′). Anstelle von T′, μ′ genügt es offenbar (T′′, μ′′) zu finden, so daß das entsprechende Element γ′′_{n} ∈ G′′(Q) zentral ist und dafür können wir annehmen, daß G′′ von der Form H_{J} ist. Dann definieren wir T′′ mittels einer Erweiterung K vom Grad 4 von L. Es genügt K so zu wählen, daß die über p liegenden Primstellen von K in L träge sind, denn dann ist das Bild von γ′′_{n} in G′′_{ad} elliptisch im p und somit, weil es sowieso elliptisch im Unendlichen ist, von endlicher Ordnung. Wir haben noch die Wahl von p, das allerdings unverzweigt in L sein soll, und von K frei. Wir wählen K von der Form K = L · K_{1}, wobei K_{1} eine Erweiterung von Grad 4 von Q ist, so daß p träge und total verzweigt in K_{1} ist. Nämlich, falls p ≡ 1 mod 4, so gibt es eine Untergruppe vom Index 4 in Z_{p}^{×}, die eine total verzweigte abelsche Erweiterung von Grad 4 von Q_{p} definiert, und man nimmt einen total-reellen globalen Körper von Grad 4, der in p diese Gestalt hat. Wir definieren J durch die Gleichung

J(x, y) = Tr_{K/L}xȳ.

Wir wollen jetzt ein Beispiel einer Gruppe geben, bei der es zulässige Homomorphismen ϕ gibt, die nicht äquivalent zu einem ψ_{T,μ} sind. Es sei E eine total-reelle Erweiterung von Grad n von Q, in der p prim bleibt. Es sei D eine Quaternionenalgebra über E, die in allen unendlichen Stellen unverzweigt ist und die in p verzweigt ist. Die Gruppe G ist die multiplikative Gruppe D^{∗}, aufgefaßt als algebraische Gruppe über Q. Nach Wahl eines Isomorphismus G_{R} ≅ GL(2)R^{n} wird h : \underline{S} → G_{R} komponentenweise wie üblich erklärt:

h_{i} : a + b\sqrt{−1} ∈ C^{∗} → ( \begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix} ) ∈ GL(2, R).

Es sei K eine rein imaginäre quadratische Erweiterung von E, die in allen Stellen außerhalb p in D eingebettet ist, während p in ihr zerfällt: p = 𝔭_{1} · 𝔭_{2}. Es sei q = p^{m}. Wie in §3 konstruiert man für genügend hohes m eine Weilzahl γ ∈ K für die ord_{𝔭_{i}}γ/ord_{𝔭_{i}}q = v_{i}/2n, wobei v_{1} und v_{2} zwei vorgegebene positive Zahlen sind mit

(7.e) v_{1} + v_{2} = 2n.

Falls E = Q, so können wir die r_{i} ungerade (für spätere Zwecke) und voneinander verschieden wählen. Dann ist K = E(γ). Es sei T = K^{∗} ein algebraischer Torus. Wir werden erstens T (Q̄) in G(Q̄) einbetten und dann einen zulässigen Homomorphismus ϕ : 𝒫 → 𝒢_{G} konstruieren, wobei die Gruppe K_{p} ⊂ G(Q_{p}), die in der Bedingung (5.d) vorkommt, die einzige maximale kompakte Untergruppe ist, so daß ϕ(δ) = γ, d.h. ϕ(δ_{km}) = γ^{k}. Dieser liefert das gesuchte Beispiel, da dann offenbar γ ∈ I_{ϕ} = K^{∗} ist, das nicht in G(Q) eingebettet werden kann.

Für die Konstruktion von ϕ benötigen wir einige kohomologische Betrachtungen, die wir vorausschicken. Wir fixieren eine quadratische Erweiterung K′ von E, in der p prim bleibt und die in D eingebettet ist. Es sei L = K′K. Das folgende Diagramm beschreibt die Situation und definiert die Elemente der Galoisgruppe.

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} E  ^{η} L K  K′ K′′^{ν}^{ε}

Es ist ν = ε·η = η ·ε. Wir betrachten zunächst D^{∗} und K^{∗} als algebraische Gruppen über E und bezeichnen sie mit G^{1} und T^{1}. Wir betten T^{1} so in GL(2)_{K} ein, daß γ nach ( \begin{matrix}s_{1} \\ & s_{2} \end{matrix} ) geht, s_{1} ∈ K, s_{2} = η(s_{1}). Die Operation der Galoisgruppe Gal(L/E) auf GL(2, L) ist

\begin{matrix}η_{∗} ( \begin{matrix}s_{1} \\ & s_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}s_{2} \\ & s_{1} \end{matrix} ) , \\ ε_{∗} ( \begin{matrix}s_{1} \\ & s_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}s_{1} \\ & s_{2} \end{matrix} ) . \end{matrix}

Über K′ wird G^{1} isomorph zu GL(2). Als Twistungskozykel von Gal(K′/E) wählen wir das Bild in der adjungierten Gruppe der folgenden Kokette in GL(2):

1 → 1, ε̄ → j = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ λ & 0 \end{matrix} ) .

Hier ist λ ∈ F^{×} total negativ gewählt und mit ord_{p}λ = 1, so daß λ nicht Norm eines Elements aus K′_{p} ist. Die getwistete Aktion von Gal(K′/E) ist

ε̄( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) = j ( \begin{matrix}ε(a) & ε(b) \\ ε(c) & ε(d) \end{matrix} ) j^{−1}.

Für die getwistete Aktion von Gal(L/E) auf γ kommt

(7.f) ε ( \begin{matrix}s_{1} \\ & s_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}s_{1} \\ & s_{2} \end{matrix} ) , η ( \begin{matrix}s_{1} \\ & s_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}s_{2} \\ & s_{1} \end{matrix} ) .

Der zur obigen Kokette gehörige zentrale 2-Kozykel ist

a_{1,1} = a_{1,ε̄} = a_{ε̄,1} = 1, a_{ε̄,ε̄} = λ.

Wir betrachten die folgende Kokette von Gal(L/E) mit Werten in G^{1}(L):

g_{ε} = j = g_{η}, g_{1} = g_{v} = 1.

Sein Korand ist

g_{1,∗} = g_{∗,1} = 1, g_{v,∗} = g_{∗,v} = 1, g_{ε,η} = g_{η,ε} = λ.

Es gilt wegen der obigen Formeln (7.f)

(7.g) g_{σ}σ(γ)g_{σ}^{−1} = γ, σ ∈ Gal(L/E).

Also steht auf der linken Seite dieser Gleichung die übliche Aktion von Gal(L/E) auf T^{1}(L).

Diese Formel bleibt auch dann richtig, wenn g_{σ} durch t_{σ} · g, t_{σ} ∈ T^{1} ersetzt wird. Wir betrachten daher {g_{ϱ,σ}} als einen 2-Kozyklus mit Werten in T^{1}. Seine Klasse in

H^{2}(L/E, T^{1}) = H^{2}(L/K, G_{m}) = ker (Br (K) → Br (L))

ist offenbar das Bild des Twistungskozykels von G^{1} unter der Abbildung von Br(E) nach Br(K). Weil der Körper K nach Voraussetzung lokal überall außerhalb p in G^{1} eingebettet werden kann, ist die Klasse von {g_{ϱ,σ}} außerhalb p trivial, während sie in p das Bild des nichttrivialen Elements von Br (E_{p})_{2} ist:

Br (E_{p}) → Br (K_{𝔭_{1}})_{2} ⊕ Br (K_{𝔭_{2}})_{2}
Z/2⟶^{diagonal}Z/2 ⊕ Z/2.

Um jetzt den Homomorphismus ϕ zu definieren, sei 𝔄 ein Links-Repräsentantensystem von Gal(Q̄/Q) modulo Gal(Q̄/E), das 1 erhält. Dann ist

𝒢_{G} = ∏_{τ∈𝔄} GL(2, Q̄) ⋊ Gal(Q̄/Q),

wobei

σ(∏_{τ} A_{τ}) = ∏_{τ} σ_{τ} (A_{τ′}), τσ = σ_{τ} · τ′; τ, τ′ ∈ 𝔄, σ_{τ} ∈ Gal(Q̄/E).

Auf dem Kern P soll ϕ gegeben sein durch

ϕ(δ_{k}) = (γ_{τ}^{k}), δ_{k} ∈ P (L, m),

mit γ_{τ} = γ für alle τ ∈ 𝔄. Dann ist ϕ|P ein über Q definierter Homomorphismus von Tori, weil γ ∈ T (Q). Also ist ϕ(p_{ϱ,σ}) ein 2-Kozykel von Gal(Q̄/Q) mit Werten in T.

Auf den Erzeugenden p_{ϱ} von 𝒫 definieren wir ϕ versuchsweise durch

ϕ(p_{ϱ}) = ∏_{τ} g_{τ} (ϱ) × ϱ

mit g_{τ} (ϱ) = g_{ϱτ}. Wegen (7.g) gilt dann

\begin{aligned}ϕ(p_{ϱ}) · ϕ(δ) · ϕ(p_{ϱ})^{−1} & = ∏_{τ} g_{τ} (ϱ) · ϱ_{τ} (γ) · g_{τ} (ϱ)^{−1} \\ & = ∏_{τ} γ_{τ} = ϕ(δ). \end{aligned}

Diese Identität bleibt auch dann richting, wenn g_{r}(ϱ) durch t_{τ} (ϱ) · g_{τ} (ϱ) mit t_{τ} ∈ T^{1} ersetzt wird, und diese Abänderung behalten wir uns vor.

Damit ϕ ein Homomorphismus ist, muß auch gelten

g_{τ} (ϱ) · ϱ_{τ} (g_{τ′}(σ)) = ϕ(p_{ϱ,σ}) ⋯ g_{τ} (ϱσ).

Weil (ϱσ)_{τ} = ϱ_{τ} σ_{τ} ist

g_{τ} (ϱ) · ϱ_{τ} (g_{τ′}(σ)) · g_{τ} (ϱσ)^{−1} = g_{ϱ_{τ}} · ϱ_{τ} (g_{σ_{τ′}}) · g_{ϱ_{τ′} ,σ_{τ′}}^{−1} .

Wir müssen also diesen 2-Kozykel von Gal(Q̄/F) mit Werten in T^{1}, den wir bereits weiter oben identifiziert haben, mit dem 2-Kozykel ϕ(p_{ϱ,σ}) von Gal(Q̄/Q) mit Werten in T vergleichen. Nach dem Shapirolemma ist ϕ(p_{ϱ,σ}) kohomolog zu einem induzierten Kozykel mit Werten in T^{1}, und zwar dem auf Gal(Q̄/E) eingeschränkten Kozykel ϕ^{1}(p_{ϱ,σ}), wobei ϕ^{1} : P → T^{1} das Element δ nach γ schickt. Nach Konstruktion von 𝒫 ist dieser Kozykel trivial außerhalb p und den archimedischen Stellen. Weil K total imaginär ist, ist die Brauergruppe im Unendlichen trivial, also ist der Kozykel auch in den unendlichen Stellen trivial. Um die Klasse des Kozykels in der Stelle p zu bestimmen, können wir ϕ durch ξ_{p} = ϕ ∘ ζ_{p} ersetzen und dann auf die erste Komponente projizieren. Es sei L′ eine Galoiserweiterung von Q, die L enthält. Wir können annehmen, daß L′ in p unverzweigt ist. Es sei 𝔭 eine Erweiterung von 𝔭_{1} auf L′, und es sei [L′_{𝔭} : Q_{p}] = r. Dann ist ξ_{p} auf 𝒟_{L_{r}}^{L_{r}} definiert. Wenn wir den fundamentalen Kozykel a_{σ^{i},σ^{j}}, σ das Frobeniuselement, auf die gewöhnliche Weise einführen, dann ist a_{σ^{i},σ^{j}} = 1, 0 ≦ i, j < r, i + j < r; a_{σ^{i},σ^{j}} = p^{−1}, 0 ≦ i, j < r, i + j ≧ r, und

ξ_{p}^{1}(p^{−1}) = ν_{2}(p^{−1}),

wobei ν_{2} durch

| ∏_{σ∈Gal(L′_{𝔭}/Q_{p})} σλ(γ)|_{p} = q^{ν_{2}(λ)}, λ ∈ X^{∗}(T^{1})

definiert ist.

Nach Definition von γ ist die linke Seite gleich

q^{\frac{−(λ_{1}v_{1}+λ_{2}v_{2})r}{2n}} ,

wobei λ_{1} und λ_{2} eine offensichtliche Bedeutung haben. Der Kozykel über E_{p} kann daher auf Gal(K′_{p}/E_{p}) definiert werden, und zwar durch

ε → p^{−(λ_{1}v_{1}+λ_{2}v_{2})}.

Da v_{1} und v_{2} ungerade sind, bekommen wir das Bild in H^{2}(K′_{p}/E_{p}, T^{1}) des nichttrivialen Kozykels in H^{2}(K′_{p}/E_{p}, G_{m}).

Damit sehen wir, daß die beiden zu vergleichenden Kozyklen überall lokal äquivalent sind und folglich äquivalent. Nach Korrektion von g_{τ} (ϱ) mit zweckmäßigen t_{τ} (ϱ) ist der gesuchte Homomorphismus ϕ definiert. Dabei ist zu bemerken, daß die Äquivalenzklasse von ϕ von der Wahl der Korrekturfaktoren (t_{τ}) unabhängig ist, denn H^{1}(Q, T) = 0.

Wie müssen noch nachweisen, daß ϕ zulässig ist. Man überprüft sofort, daß ϕ_{ab} und ψ_{G_{ab},μ_{ab}} auf dem Kern übereinstimmen. (Es ist eine Folge von (7.e).) Weil H^{1}(Q, G_{m}) = 0, stimmen sie somit überein. Außerhalb p und ∞ ist 𝒫 trivial, also definiert ϕ ∘ ζ_{l} einen Kozykel mit Werten in G. Weil H^{1}(Q_{l}, G) = 0, ist ϕ ∘ ζ_{l} äquivalent zur kanonischen Neutralisierung von 𝒢_{G}.

Das Kompositum ϕ ∘ ζ_{∞} ist auf dem Kern C^{×} von 𝒲 gleich dem Diagonalhomomorphismus C^{i} → G(C) = ∏ GL(2, C). Die entsprechende Kohomologieklasse in

H^{1}(R, G_{ad}) ≅ H^{2}(R, R_{E/Q}G_{m}) ≅ (Z/2)^{n}

wurde weiter oben bestimmt. Weil λ total negativ genommen wurde, ist es das Diagonalelement (−1, …, −1) der Gruppe auf der rechten Seite. Der Homomorphismus ζ_{∞} bestimmt dieselbe Kohomologieklasse. Weil das Zentrum von G verschwindendes H^{1} hat, sind somit ξ_{∞} und ϕ ∘ ζ_{∞} äquivalent.

Die Bedingung in p ist umständlicher zu verifizieren. Das Gebäude von G ist ein Produkt

ℬ(G, 𝔨) = ℬ(G_{der}, 𝔨) × X_{∗}(G_{ab}) ⊗ R

und ist gleich dem Gebäude von R_{F_{p}/Q_{p}}GL(2), allerdings mit der getwisteten Aktion. Auf X_{∗}(G_{ab}) ⊗ R stimmt diese Aktion mit der üblichen überein, während auf dem Gebäude ℬ(R_{F_{p}/Q_{p}}SL(2), 𝔨) die getwistete Aktion von σ gegeben ist durch

σ(x^{0}, …, x^{n−1}) = (x^{1}, …, x^{n−1}, j · σ_{∗}^{n}(x^{0})).

Hier sind die x^{i} im Gebäude der SL(2). Es sei

x_{0} = (x_{0}^{0}, …, x_{0}^{n−1}) ∈ ℬ(G, 𝔨)

die Ecke, die der maximalen kompakten Gruppe der ganzzahligen Elemente von GL(2, F) entspricht. Dann ist offenbar σ^{2n}(x_{0}) = x_{0}, und falls wir mit x_{i} = σ^{i}(x_{0}) die Translate von x_{0} unter der Galoisgruppe bezeichnen, so bilden die x_{i} für i ∈ Z/2n Ecken eines Polysimplex, das unter Gal(𝔨/Q_{p}) invariant ist. Wir betrachten seinen Faktor in ℬ(G_{der}, 𝔨). Man sieht leicht, daß dessen Schwerpunkt der einzige Fixpunkt der Galoisaktion auf dem Gebäude von G_{der} ist. Nach dem Fixpunktsatz von Bruhat und Tits besteht das Gebäude von ℬ(G_{der}, Q_{p}) aus diesem einzigen Punkt. Weil wir K_{p} als die wohlbestimmte maximale kompakte Untergruppe von G(Q_{p}) gewählt hatten, d.h. K_{p} ∩G_{der}(Q_{p}) = G_{der}(Q_{p}), und weil der Stabilisator einer Kammer in einer einfachzusammenhängenden Gruppe alle Punkte der Kammer festläßt, ist

K_{p} = {g ∈ G(Q_{p})|g · x_{i} = x_{i}, i ∈ Z/2n}.

Damit haben wir K_{p} in der Form dargestellt, wie sie im §5 für die Formulierung der Bedingungen der Zulässigkeit gebraucht wird. Als nächstes berechnen wir den Operator F. Es sei v_{1} = 2a + 1 und v_{2} = +1, so daß a + b = n − 1. Wir wählen die fundamentale Klasse für die unverzweigte Erweiterung L_{2n} = L_{p_{1}} vom Grad 2n wie im Beispiel vor 5.2. Wir schicken das Element d_{σ} = 1 × σ ∈ 𝒟_{L_{2n}}^{L_{2n}} nach

F = ( ( \begin{matrix}p \\ & 1 \end{matrix} ) , …, ( \begin{matrix}1 \\ & p \end{matrix} ) , …, ( \begin{matrix}1 \\ & p \end{matrix} ) , j) × σ.

Hier tritt die Matrix ( \begin{matrix}p \\ & 1 \end{matrix} ) a mal auf und ( \begin{matrix}1 \\ & p \end{matrix} ) b mal. Auf dem Kern nehmen wir den Homomorphismus

ν : λ → λ_{1}v_{1} + λ_{2}v_{2}.

Um zu überprüfen, daß auf diese Weise ein Homomorphismus ξ̃ : 𝒟^{L_{2n}} → 𝒢_{G} definiert ist, genügt es zu zeigen, daß F^{2n} = ν(p^{−1}) in G(Q_{p}) = G^{1}(E_{p}). Indem man ausnutzt, daß sowohl σ^{n} als auch das Element j durch Vertauschen der Eingänge einer Diagonalmatrix wirken,

σ^{n} ( \begin{matrix}s_{1} \\ & s_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}s_{2} \\ & s_{1} \end{matrix} ) = j ( \begin{matrix}s_{1} \\ & s_{2} \end{matrix} ) j^{−1},

erhält man F^{n} = ( \begin{matrix}p^{a} \\ & p^{b} \end{matrix} ) j × σ^{n} ∈ G^{1}(F_{p}) × σ^{n}. Folglich ist

F^{2n} = ( \begin{matrix}p^{2a+1} \\ & p^{2n+1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}p^{v_{i}} \\ & p^{v_{2}} \end{matrix} ) = ν(p^{−1}).

Der lokalisierte Homomorphismus ϕ ∘ ζ_{p} stimmt mit ξ̃ auf dem Kern überein. Somit unterscheiden sie sich um einen 1-Kozykel mit Werten in T, und weil H^{1}(Q_{p}, T) = 0 ist, sind sie äquivalent. Es folgt, daß das Bild von d_{σ} der in Abschnitt 5 definierte Operator F ist. Offenbar gilt

\begin{aligned}inv (σx_{i}, F x_{i}) & = inv (x_{i+1}, ( ( \begin{matrix}p \\ & 1 \end{matrix} ) , ⋯, ( \begin{matrix}1 \\ & p \end{matrix} ) , j) · x_{i+1}) \\ & = (μ, …, μ). \end{aligned}

Folglich enthält X_{p} den Punkt (x_{0}, …, x_{2n−1}) und ist nicht leer. Also erfüllt ϕ auch die Bedingung (5.d) an die Zulässigkeit.

Literatur

[A] M. Artin, Algebraization of formal moduli, in: A Collection of Mathematical Papers in Honor of K. Kodaira, Tokyo 1969.

[AT] E. Artin, J. Tate, Class Field Theory, New York-Amsterdam 1967.

[BT] F. Bruhat, J. Tits, Groupes reductifs sur un corps local. I, II. Pub. Math. IHES 41 (1972), 60 (1984).

[C] H. Carayol, Sur la mauvaise réduction des courbes de Shimura, Thèse, Paris 1984.

[De1] P. Deligne, Varietés de Shimura. Interprétation modulaire et techniques de construction de modèles canoniques, in: Automorphic Forms, Representations, and L-Functions, AMS 1979.

[De2] P. Deligne, Motifs et groupe de Taniyama, in: Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties, LMN 900, Berlin-Heidelberg-New York 1982.

[De3] P. Deligne, Travaux de Shimura, Sem. Bourbaki exp. 389 (Februar 1971), unveröffentlicht.

[DM] P. Deligne, J. Milne, Tannakian Categories, in: Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties, LNM 900, Berin-Heidelberg-New York 1982.

[DR] P. Deligne, M. Rapoport, Modules des courbes elliptiques, in: Modular Functions of One Variable. II, LNM 349, Berlin-Heidelberg-New York 1972.

[Dem] M. Demazure, Lectures on p-divisible groups, LNM 244, Berlin-Heidelberg-New York 1972.

[SGAD] M. Demazure, A. Grothendieck, Schemas en groupes, LNM 151-153, Berlin-Heidelberg-New York 1970. [Fo] J.-M. Fontaine, Groupes p-divisibles sur les corps locaux, Astérisque 47-48 (1977).

[Fu] W. Fulton, Intersection Theory, Berlin-Heidelgerg-New York 1984.

[G] M. Greenberg, Schemata over local rings, II, Ann. Math. 78 (1963), 256-266.

[KM] N. Katz, W. Messing, Some consequences of the Weil conjectures, Inv. Math. 23 (1974), 73-77.

[K] S. Kleiman, Algebraic Cycles and the Weil conjectures, in : Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas, Amsterdam 1968.

[Kn] M. Kneser, Galois-Kohomologie halbeinfacher algebraischer Gruppen über p-adischen Körpern. II, Math. Z. 89 (1965), 250-272.

[K1] R. Kottwitz, Rational conjugacy classes in reductive groups, Duke Math. J. 49 (1982), 785-806.

[K2] R. Kottwitz, Stable Trace Formula: Cuspidal Tempered Termss, Duke Math. J. 51 (1984), 611-650.

[K3] R. Kottwitz, Shimura Varieties and Twisted Orbital Integrals, Math. Ann. 269 (1984), 287-300.

[K4] R. Kottwitz, Isocrystals with additional structures, Math. Ann. 275 (1986), 365-399.

[K5] R. Kottwitz, Stable Trace Formula: Elliptic Singular Terms, Comp. Math. 56 (1985), 201-220.

[L1] R.P. Langlands, Some contemporary problems with origins in the Jugendtraum, in: Mathematical developments arising from Hilbert’s problems, AMS (1976), 401-418.

[L2] R.P. Langlands, On the zeta function of some simple Shimura varieties, Can. J. Math. 31 (1979), 1121-1216.

[L3] R.P. Langlands, Les débuts d’une formule des traces stable, Publ. Math. de l’Univ. Paris VII 13, Paris

1983.

[MS1] J. Milne, K. Shih, Langlands’s Construction of the Taniyama group, in: Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties, LNM 900, Berlin-Heidelberg-New York 1982.

[MS2] J. Milne, K. Shih, Conjugates of Shimura varieties, in: Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties, LNM 900, Berlin-Heidelberg-New York 1982.

[Me] W. Messing, The crystals associated to Barsotti-Tate groups, LNM 264, Berlin-Heidelberg-New York 1972.

[Mu1] D. Mumford, Abelian Varieties, Oxford 1970.

[Mu2] D. Mumford, Geometric Invariant Theory, Berlin-Heidelberg-New York 1965. [Sa] N. Saavedra, Catégories tannakiennes, LNM 265, Berlin-Heidelberg-New York 1972.

[Se1] J.P. Serre, Cohomologie galoisienne, LNM 5, Berlin-Heidelberg-New York 1965.

[Se2] J.P. Serre, Abelian l-adic representations and elliptic curves, New York-Amsterdam 1968.

[SeTa] J.P. Serre, J. Tate, Good reduction of abelian varieties, Ann. Math. 88 (1968), 492-517. [Sh] D. Shelstad, Characters and inner forms of a quasisplit group over R, Comp. Math. 39 (1979), 11-45.

[T] J. Tits, Reductive groups over local fields, in: Automorphic Forms, Representations and L-Functions, AMS 1979.

[Z1] T. Zink, Isogenieklassen von Punkten von Shimuramannigfaltigkeiten mit Werten in einem endlichen Körper, Math. Nachr. 112 (1983), 103-124.

[Z2] T. Zink, Über die schlechte Reduktion einiger Shimuramannigfaltigkeiten, Comp. Math. 45 (1981), 15-107.